4-3n维向量空间的正交性复习：向量空间的概念思考：在3维向量空间R3中，可以通过向量的数量积运算计算向量的长度及向量间的夹角等度量，在n维向量空间Rn中如何讨论呢？为此引入内积的运算
4-3 n 维向量空间的正交性 思考： 在3维向量空间 R3 中，可以通过向量的数量积运算计算向量的长度及向量 间的夹角等度量，在 n 维向量空间 R n 中如何讨论呢？ 复习：向量空间的概念 为此引入内积的运算
一、内积定义1设α=(a,az,a），β=(b,b,,,b,）是n维向量空间R"中的两个向量，称实数ab+ab,+….+a,b,为α与β的内积，记为（α，β)(α, β)=a,b +a,b, +...+a,b, =αβl内积的运算性质设α,β,是n维向量空间R"中的向量，k为任意实数（1)非负性(α，α)≥0,当且仅当α=0时等号成立;（2） 对称性(α, β)=(β, α) (α+β, )=(α, )+(β, )(kα, β)=k(α, β)（3）线性性质
内积的运算性质 (, ) 0, 设 是 n 维向量空间 中的向量，k 为任意实数, n , , R （1）非负性 当且仅当 0 时等号成立； （2）对称性 (, ) (, ) （3）线性性质 ( , ) (, ) (, ) (k, ) k(, ) 一、内积 定义1 设 是 n 维向量空间 中的两个向量， 称实数 为 与 的内积，记为 ( , , , ), ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn n R a1 b1 a2 b2 an bn (, ) T (, ) a1 b1 a2 b2 an bn
定义2设α=(a,a2,an)R”，称α,)=a+α+…a为向量α的长度，记为 [αlll=a' +a? +...+a?向量长度的运算性质(1）非负性[α≥ 0, 当且仅当 α= 0 时 α= 0kα=, ke R（2) 齐次性α+β≤+B（3）三角不等式(α, β)≤a2 柯西-施瓦茨不等式
向量长度的运算性质 0, 设 ，称 为向量 的长度， 记为 （1）非负性 当且仅当 0 时 （2）齐次性 k k , k R （3）三角不等式 定义2 n (a1 ,a2 , ,an )R 2 2 2 2 1 ( , ) a a an 0 柯西-施瓦茨不等式 2 2 2 (, ) 2 2 2 2 a1 a an
单位向量及向量的单位化当α=1时，称α为单位向量。若α±0，则α可以单位化(α,β) :为α与β的夹角，记为<α,β)当α0，β0时，称=arccos定义3l -/ll(α,β)α,β)=arccosal-/ ll在R3中，两向量α,β，(α,β)=0α1β
单位向量及向量的单位化 当 1 时，称 为单位向量。 若 0 ，则 可以单位化： 1 定义3 当 0， 0 时，称 为 与 的夹角，记为 ( , ) arccos , ( , ) , arccos 在R3 中，两向量 , ， (,) 0
二、 n 维向量的正交性定义4若两向量α与β内积为零，即（α,β)=0，则称α与β正交。零向量0与任一向量正交。定义5若非零向量组αj,α2,αm两两正交，则称之为正交向量组定理正交向量组是线性无关组。设α,αz,",αm是正交向量组，且kα+k,α+.+kmαm=0证明：用α,与上式两端作内积，则αi,kα,+kzαz++kmαm）=k,(α,α,)+k,(αr, α,)+..+k(αr, αm)=k,(α, α,)=0因α≠0，(α,α)±0，所以=0，同理k,=k==k=0所以，αi,α2,",αm线性无关
二、n 维向量的正交性 定义4 若两向量 与 内积为零，即 (,) 0 ，则称 与 正交。 零向量 0 与任一向量正交。 定义5 若非零向量组 1 ,2 , , m 两两正交，则称之为正交向量组。 定理 正交向量组是线性无关组。 证明： 设 1 ,2 , , m 是正交向量组，且 k1 1 k2 2 km m 0 用 1 与上式两端作内积，则 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 2 k k k k k k k m m m m 因 1 0， (1 ,1 ) 0 ，所以 k1 0 ，同理 k2 k3 km 0 所以，1 ,2 , , m 线性无关