第三章n维向量空间3-1 n维向量空间的概念3-2向量组的线性相关性3-3向量组的秩与极大无关组3-4 线性方程组解的结构
第三章 n 维向量空间 3-1 n 维向量空间的概念 3-2 向量组的线性相关性 3-3 向量组的秩与极大无关组 3-4 线性方程组解的结构
3-1n维向量空间的概念引入Op=(a,a2,a,)1°空间直角坐标系中，向径OP是一个三维向量，坐标表示为0203(o203),2°矩阵14的每一行元素可以构成一个行矩阵-30(14),0-3(000102)12030每一列元素可以构成一个列矩阵4-3010203°n元线性方程ax+azx2+...+a,x=b的系数可以记为(ai,a,"",an)
3-1 n 维向量空间的概念 OP 引入 1°空间直角坐标系中，向径 是一个三维向量，坐标表示为 ( , , ) OP a1 a2 a3 2°矩阵 的每一行元素可以构成一个行矩阵 0 1 0 2 1 3 0 4 0 2 0 3 0 1 0 2 , 1 3 0 4 , 0 2 0 3 , 每一列元素可以构成一个列矩阵 2 4 3 , 0 0 0 , 1 3 2 , 0 1 0 3° n 元线性方程 a1 x1 a2 x2 an xn b 的系数可以记为 ( , , , ) a1 a2 an
一、向量及向量空间定义1数域P上的n个数组成的有序数组α=(a,αz，,a,）称为一个n维向量。ai注a2列向量：(1）行向量：(ai,a2,.,an）an)（2）a，称为向量的分量(i=1,2,,n)(3）设向量α=(a,a2,,a,),β=(b,bz,,b,),若a,=b，(i=1,2,,n），则称向量相等：α=β0 =(0,0,.,0)（4）零向量（5）负向量-α=(aj,-a2,,-an)
定义1 数域 P上的 n 个数组成的有序数组 (a1 ,a2 , ,an ) 称为一个 n 维向量。 ( , , , ) （1）行向量： a1 a2 an 列向量： n a a a 2 1 a (i 1,2, ,n) （2） i 称为向量的分量 （3）设向量 ，若 ，则称 向量相等： ( , , , ), ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn a b (i 1,2, ,n) i i 注 （4）零向量 ( , , , ) a1 a2 an 0 (0,0, ,0) （5）负向量 一、向量及向量空间
定义2（向量的线性运算）设向量α=(aj,az,.",a,),β=(b,bz,".,b,),keP(数域)向量加法α+β=(a, +br,a2 +bz,"",an +bn)数乘向量ka =(ka,kaz,...,kan)定义3（n维实向量空间Rn）全体n维向量的集合，对于加法和数乘运算封闭，且满足下列运算规律(1) α+β=β+α;(5) 1α =α;(2) (α +β)+=α+(β+);(6) k(lα) =(kl)α;(3) α+0=α;(7) k(α +β)=kα+kβ:(4) α+(-α)=0,(8) (k+I)α = kα+lα
定义2 （向量的线性运算） 设向量 (a1 ,a2 , ,an ), (b1 ,b2 , ,bn ), k P （数域） 向量加法 数乘向量 ( , , , ) a1 b1 a2 b2 an bn ( , , , ) 1 2 n k ka ka ka 定义3 （ n 维实向量空间 Rn） 全体 n 维向量的集合，对于加法和数乘运算封闭，且满足下列运算规律： (4) ( ) 0; (3) 0 ; (2) ( ) ( ); (1) ; (8) ( ) . (7) ( ) ; (6) ( ) ( ) ; (5) 1 ; k l k l k k k k l k l
ax +ai2x2+...+ainx,=ba21X, +a22X2 +..+a2nx, =b,例如，n元线性方程组可记为向量方程：+am2X2+...+amx,=bmL(b)ay2b2a22d21aanXa+x2+..+x=b+X2Xb.amlCX2X =或 Xa +x22 +.+x,α, =(α1,α2,*,αn)X=b（解向量）x
例如，n 元线性方程组 可记为向量方程： m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 mn m n n n m m b b b a a a x a a a x a a a x 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 x1 1 x2 2 xn n b 或 x1 1 x2 2 xn n (1 ,2 , ,n )X b n x x x X 2 1 （解向量）