《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第四章 特征值与特征向量 4-4实对称矩阵的相似对角化

4-4实对称矩阵的相似对角化引入：复数域上，矩阵的共轭矩阵设A=(a,）mn，称A=(a.)mxn为A的共轭矩阵A-AT(1)kA=kA(2)AB=A B(3)

4-4 实对称矩阵的相似对角化 引入：复数域上，矩阵的共轭矩阵 A  aij mn 设 ( ) ，称 为 A 的共轭矩阵. A  aij mn ( ) AB A B kA k A A A T T (3) (2) (1)   

引理1实对称矩阵的特征值都是实数证：假设复数是实对称矩阵A的特征值，复向量α为对应的特征向量，即有(1)Aα=α,α0上式两端取共轭，再转置，因A=A,A=A，故α"A=α(2)（2）式两端右乘α，得Aα=α（1）式两端左乘α，得αAα=αα比较两式，则有α=α即(-)α=0，而，所以aα=a,a,=Zla,+0i=li=l故元-元=0,=，说明为实数

引理1 实对称矩阵的特征值都是实数。 证： 假设复数  是实对称矩阵A的特征值，复向量  为对应的特征向量，即有 A  ,   0 （1） 上式两端取共轭，再转置，因 A  A, A T  A ，故 2 T T A （ ） （2）式两端右乘  ，得 T T A （1）式两端左乘  T ，得     T T A  比较两式，则有 ，即 ，而 ，所以 T T 故 ，说明 为实数。      0 T ( )   0 0 1 2 1      n i i i n i i T   a a a    0，    

由引理1可推出：由于对称矩阵A的特征值.为实数,所以齐次线性方程组(a, I - A)x = 0是实系数方程组,由a,I-A=0知必有实的基础解系，从而对应的特征向量为实向量

由引理1可推出： , ( ) 0 , 0 , . i i i A I A x I A 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量为实向量      

引理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交证:设实对称矩阵A有两个不同特征值，，分别对应特征向量α,α即A=A=1转置右乘α2a'A=MaT A, ='2 ='*α,α2= 0则 (-)αα=0即α,α正交

引理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交。 证： 设实对称矩阵 A 有两个不同特征值 1 ,2 ，分别对应特征向量 1 2  , 即 1 1 1 2 2 2 A   , A    T T 1 A  1 1 转置 右乘  2 1 2 1 1 2 T T A  1 2 2 1 1 2 T T  则 (1 2 )1 2  0 T 1  2 1 2  0 T 即 1 ,2 正交

引理3实对称矩阵的k重特征值一定有k个线性无关的特征向量注1实对称矩阵一定能对角化。定理对任意n阶实对称矩阵A都存在n阶正交矩阵C，使得CTAC=C-AC=A

引理3 实对称矩阵的 k 重特征值一定有 k 个线性无关的特征向量。 注1 实对称矩阵一定能对角化。 定理 对任意 n 阶实对称矩阵 A ，都存在 n 阶正交矩阵 C，使得   Λ  C AC C AC T 1