《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第二章 行列式 2-3 拉普拉斯定理

2-3拉普拉斯定理定义（行列式的k阶子式）在n阶行列式D中任取k行k列(1<k≤n），在行列交叉点的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式S，称为行列式D的一个k阶子式。在D中划掉S所在的k行k列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M称为S的余子式S的代数余子式：A=(-1)(i++i)(i+i2+)M例如DA=(-1)

2-3 拉普拉斯定理 在 n 阶行列式 D 中,任取 k 行 k 列 (1 k  n) ，在行列交叉点的 k 2 个元素按原来 n  k 定义 （行列式的 k 阶子式） 的相对位置组成的 k 阶行列式 S ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式。在 D 中划掉 S 所在 的 k 行 k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的 阶行列式 M 称为 S 的余子式。 S 的代数余子式： A k k M (i i i ) ( j j j ) 1 2 1 2 ( 1)            3 1 1 2 2 1 3 0 0 1 1 4 1 2 2 3   例如 D  5 2 1 1 2    S  2 1 2 1 4 M    2 1 2 1 4 ( 1) 1 3 1 2        A M

定理（拉普拉斯定理）在n阶行列式D中任取k行（1≤k≤n-1）则由这k行组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D。若k=1，拉普拉斯定理即为行列式按安一行展开。122...3204例如D:所有2阶子式有2..2其代数余子式分别为D=-680

定理 （拉普拉斯定理） 在 n 阶行列式 D 中,任取 k 行 (1 k  n 1) ，则由这 k 行组成的所有k 阶子式与 它们的代数余子式的乘积之和等于D 。 若 k = 1 ，拉普拉斯定理即为行列式按一行展开。 3 1 1 2 2 1 3 0 0 1 1 4 1 2 2 3   例如 D  9 3 0 2 3 3, 1 0 2 3 8, 1 3 2 2 6, 2 0 1 3 1, 2 3 1 2 5, 2 1 1 2              3, 3 1 0 1 3, 3 1 0 1 12, 3 2 0 4 0, 1 1 1 1 2, 1 2 1 4 2, 1 2 1 4                 所有 2 阶子式有 其代数余子式分别为 D  68

201001200例1计算行列式 D=10-00211000/20解：按1、2行展开，值不为零的二阶子式有3.1100110101其代数余子式分别为O20211=02= -3,12002112D=3×4+2×(-3)+1×0=6

0 0 0 1 2 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 例1 计算行列式 D  解：按 1、2 行展开，值不为零的二阶子式有 1, 2 1 1 0 2, 1 1 2 0 3, 1 2 2 1    其代数余子式分别为 0 0 1 2 0 2 1 0 1 0 3, 0 1 2 0 2 1 1 1 0 4, 0 1 2 1 2 1 2 1 0      D  34 2(3) 10  6

分块矩阵的行列式计算0Bmxm[A| =[B|C]（1）分块对角矩阵A:0Cnxn*Bmxm[A| =|B|C|（2）分块三角矩阵A:0OnxnB0mxm[A| =|B|CA:*Cnxn)

分块矩阵的行列式计算 （1）分块对角矩阵            n n m m O C B O A A  B C （2）分块三角矩阵            n n m m O C B A * A  B C            n n m m C B O A * A  B C

B其中O是零矩阵，B和D是可逆矩阵，求A-!例2设分块矩阵A：CDX X,解：由拉普拉斯定理可知A=BD+0，故A可逆，设A-IX, X4)其中X与B是同型矩阵，X4与D是同型矩阵，由矩阵乘法，0BX,BX21B 0X X)AA-1(CX, + DX,CX, + DX4O(C DX，X4)X, = B-1BX =IB-1BX, = 0X, =00得故1D-lD-'CB-1CX, +DX, = 0X, =-D-'CB-ICX, + DX4 = I[X4 = D-I

例2 设分块矩阵 ，其中 O 是零矩阵，B 和 D 是可逆矩阵，求          C D B O A 1 A 解：由拉普拉斯定理可知 A  B D  0 ，故 A 可逆，设           3 4 1 1 2 X X X X A 其中 X1 与 B 是同型矩阵， X4 与 D 是同型矩阵，由矩阵乘法，                   3 4 1 1 2 X X X X C D B O AA            1 3 2 4 1 2 CX DX CX DX BX BX          O I I O 故              CX DX I CX DX O BX O BX I 2 4 1 3 2 1 得                 1 4 1 1 3 2 1 1 X D X D CB X O X B                1 1 1 1 1 D CB D B O A