《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第三章 n维向量空间 3-4 线性方程组解的结构

3-4线性方程组解的结构、齐次线性方程组-ax +ai2x2 +..+ainx, = 0即 AX=0a21x +a22x2 +...+a2nxn =0amX,+am2X2+...+ammX,=0已有结论：1°AX=0 必有零解：2°R(A)=n AX=0只有零解A的列向量组线性无关3°R(A)<n A的列向量组线性相关AX =0 有非零解食

3-4 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组                    0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     即 AX  0 已有结论： 1° AX  0 必有零解： 2° AX  0 只有零解 R(A)  n A 的列向量组线性无关 3° AX  0 有非零解 R(A)  n A 的列向量组线性相关

齐次方程组解的性质性质1若 、≤2是齐次方程组 AX =0 的解，则i +≤2 也是 AX=0的解。性质2若是齐次方程组AX=0的解，任意数k,则kE也是AX=0的解性质3若、,、、是齐次方程组AX=0的解，任意s个数k、k,、、k、k+k52+...+k..也是AX=0的解。齐次方程组AX=0的全体解的集合称为AX=0的解空间，解空间的任一定义组基称为AX=0的一个基础解系注解向量S、S2、、、是AX=0的一个基础解系一→5、2、、，线性无关，且任一解向量都可由它线性表示

齐次方程组解的性质 性质1 若 1 、 2 是齐次方程组 AX  0 的解，则 1  2 也是 AX  0 的解。 性质2 若  是齐次方程组 AX  0 的解，任意数 k, 则 k 也是 AX  0 的解。 性质3 若 是齐次方程组 的解，任意 个数 ， 也是 的解。 1 、 2 、、 s AX  0 AX  0 s s k 、k 、、k 1 2 s s k1 1  k2  2  k  定义 齐次方程组 的全体解的集合称为 的解空间，解空间的任一 组基称为 的一个基础解系。 AX  0 AX  0 AX  0 注 解向量 1 、 2 、、 s 是 AX  0 的一个基础解系 1 、 2 、、 s 线性无关，且任一解向量都可由它线性表示

设齐次方程组 AX=0 的系数矩阵 A的秩R(A)=r<n，则方程组 AX=0 的定理基础解系含n一r个解向量。证明设R(A)=r，不妨设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为01bir+bun0brn1b..B :000000x, =bir+ixr+1 +...+binx,与B相对应的线性方程组为(1)X,=brr+iXrt1+...+brnx

定理 设齐次方程组 AX  0 的系数矩阵 A 的秩 R(A)  r  n ，则方程组 AX  0 的 基础解系含 n r 个解向量。 证明 设 R(A)  r ，不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 的行最简形为                        0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1                   r r r n r n b b b b B 与 B 相对应的线性方程组为                r r r r r n n r r n n x b x b x x b x b x 1 1 1 1 1 1 1    （1）

X, =bi++r++.+bi'x.显然，方程组AX=0与方程组（1）同解[x, =brr+1Xr+I +...+brnxn任给xr+1，",xn一组值，则唯一确定Xi,X2，,X的值，即得方程组（1）的一个解，也是方程组AX=0的-J一个解称xr+1，",x，为自由未知量(0)01+r+l001Xr+2若令xr+1,",x,取n-r组数：:.010x.(-binx由（1)得..(-brnxr+2

显然，方程组 AX  0 与方程组（1）同解。                r r r r r n n r r n n x b x b x x b x b x 1 1 1 1 1 1 1    任给 xr1 ,  , xn 一组值，则唯一确定 x1 , x2 ,  , xr 的值， 即得方程组（1）的一个解，也是方程组 AX  0 的一个解。 称 xr1 ,  , xn 为自由未知量， r n x , , x 1  n r                                                            1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 2 1      n r r x x x 由（1）得 若令 取 组数：                                                    r n n r r r r r r r b b b b b b x x 1 2 1 2 1 1 1 1   ,  ,, 

从而求得方程组AX=0的n-r个解：(-br+1)(br+2:::-brn-br+1-brr+20025=1,52 =001......:00151,52,,5-, 线性无关;下证S152，…，,-是方程组AX=0的基础解系：任一解都可由5,52，,5n-,线性表示-

从而求得方程组 AX  0 的 n r 个解：                                                                                 1 0 , , 0 0 1 , 0 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1        r n n n r r r r r r r b b b b b b    下证 1 , 2 ,  , nr 是方程组 AX  0 的基础解系： 1 , 2 ,  , nr 线性无关；   任一解都可由 线性表示       nr , , , 1 2 