《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第二章 行列式 2-4 克拉默法则

2-4克拉默法则34引入 讨论行列式 D=2102-11用对角线展开法可得D=8第一行元素1、3、4的代数余子式分别为计算A+a2A2+ai3A及aAi+a2A2+aA

2-4 克拉默法则 引入 讨论行列式 1 1 2 0 2 1 1 3 4  D  第一行元素 1、3、4 的代数余子式分别为 2, 1 1 0 2 1, 1 2 0 1 3, 1 2 2 1        用对角线展开法可得 D 8 计算 a1 1A1 1  a1 2A1 2  a1 3A1 3 及 a2 1A1 1  a2 2A1 2  a2 3A1 3

引理1行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即1aiA,+ai2Aj2+...+ainAm=aikAk=0(i+ j;i,j=1,2,..,n)k=laialainain证明ainainaildinD==0D, =..ajlaaildin1n对应元素有相同代数余子式anaannannn

引理1 0 ( ; , 1,2, , ) 1 a 1 A 1 a 2 A 2 a A a A i j i j n n k i j  i j  in jn  ik jk      行列式的一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 证明 1 1 1 1 1 1 n n n j jn i in n a a a a a a a a D               0 1 1 1 1 1 1 1   n n n i in i in n a a a a a a a a D              对应元素有相 同代数余子式

综合得，对于代数余子式有如下重要结论nZCauAj=Do,ZaxAu=Do,或k=1k=11.i=j其中6(i, j=1,2,,n)t-[0,ij

1 n ik jk ij k a A D    1 n ki kj ij k a A D    1, ( , 1,2, , ) 0, ij i j i j n i j         综合得，对于代数余子式有如下重要结论 或 其中

单选题1分设置四阶行列式的第3行的元素为-1.0.2.4，第4行对应的代数余子式为5.10,a4, 则a= ().-5.50-11提交

-5.5 0 -1 1 A B C D 提交 单选题 1分

231-5练习(1)432设D212794求(1)A + Alz + A13 + 2Al4;(2)A41 + A42 + A43 + A44(1)A11 + A12 + A3 +2A4 = 0(2)A41 + A42 + A43 + A4 = A41 + A42 + A43 + 2A44 - A[2 1 3=-3=-A4 =-4 2 3111

练习(1) 11 12 13 14 41 42 43 44 2 1 3 5 4 2 3 1 1 1 1 2 7 4 9 2 (1) 2 (2) D A A A A A A A A         设 ， 求 ， 11 12 13 14 (1) 2 0 A A A A     41 42 43 44 41 42 43 44 44 (2) 2 A A A A A A A A A         44 2 1 3 4 2 3 111     A  3