第一章 第、为 画数的连续性与间浙点 连续的定义 二、 函数的间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 函数的间断点 一、 连续的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章
一、 函数连续的定义 定义：设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，且 1imf(x)=f(xo),则称函数f(x)在x。连续 可见，函数f(x)在点x,连续必须具备下列条件： (1)f(x)在点xo有定义，即f(x)存在； (2) 极限limf(x)存在， x→x0 (3) lim f(x)=f(xo). x→x0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在 x0 连 续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数f(x)在点x,连续有下列等价命题 limf(x)=f(xo） x→X0 o+Ax)=f(a) lim.△y=0 f(x,)=f(x,)=f(x,) 左连续 右连续 8>0,6>0,当x-x,=AxK6时有 f(x)-f(x=△ykε HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0 , 0 , 当 x − x = x 0 时, 有 f ( x ) − f ( x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数. continue 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b]: 例如，P(x)=a0+a4x+.+anx” (有理整函数) 在(-0，+o0)上连续 又如，有理分式函数R(x)= P(x) 2(x) 在其定义域内连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C [ a , b ]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明函数y=sinx在(-o,+o)内连续 证：Vx∈(-0，+o) Ay=sin(x+Ax)-sin x =2sin cos(x+) Ay =2sincos(x+) ≤21=4x Ax→00 即 lim△y=0 △x>0 这说明y=sinx在(-o,+o)内连续 同样可证：函数y=cosx在(-0，+∞)内连续 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x (− , + ) y = sin( x + x ) − sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束