注线性无关的向量组未必是正交向量组。例如,向量组 α=(1,1,1),αz=(1,1,0),α;=(1,0,0)线性无关,但其中任何两个向量都不满足正交性。例1在R3中，α=(1,1,1),α=(1,1,-2），求向量α，使α,α2，α为正交向量组解：显然（αα）=0，设α=(,），则应有[(α1, α3)=X +X2 +x, =0((α2, αg)=X +X2 -2x, =0解得α=(1,-1,0），从而αi，α2，α为正交向量组
注 线性无关的向量组未必是正交向量组。 例如，向量组 线性无关， 但其中任何两个向量都不满足正交性。 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) 1 2 3 例1 在R3 中， 1 (1,1,1), 2 (1,1,2) ，求向量 3 ，使 1 , 2 , 3 为正交向量组。 解：显然 (1 , 2 ) 0 ，设 3 (x1 , x2 , x3 ) ，则应有 ( , ) 2 0 ( , ) 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解得 3 (1,1,0) ，从而 1 , 2 , 3 为正交向量组
例2在Rn中，设向量组αi，α2α,线性无关(r<n），且向量组β，βz,,β，中每一个向量都与α，αz,…,α,中每一个向量正交，且r+s>n，证明：β，β2,·…β.线性相关证：设α,(i=1,2,,r),β,（j=1,2,,s)均为列向量，则（α，β）=αβ,=0(0)αβ,a,(i=1,2,,r; j=1,2,,s0α,β,α2设矩阵A=弯:.(0α,β,α.即β,是齐次线性方程组AX=O的解向量，其基础解系含n-r个解向量，则向量组β，β,.…β、的秩<n-r<s向量组βi，β2,",β、线性相关
例2 在 Rn 中，设向量组 线性无关 ，且向量组 中每 一个向量都与 中每一个向量正交，且 ， (r n) r , , , 1 2 s , , , 1 2 r , , , 1 2 r s n s , , , 证明： 1 2 线性相关。 证：设 i (i 1,2, ,r), j ( j 1,2, ,s) 均为列向量，则 ( 1,2, , 1,2, , ) ( , ) 0 i r j s j T i j i ； 设矩阵 ，则 T r T T A 2 1 0 0 0 2 1 j T r j T j T A j 即 j 是齐次线性方程组 AX 0 的解向量，其基础解系含 n r 个解向量， 则向量组 1 , 2 , , s 的秩 nr s s , , , 向量组 1 2 线性相关