3-3向量组的秩与极大无关组引例0120,α4 =找出向量组α, =中所有线性无关的部分组。,α2α3-02-10011111行变换R(A) = 2210011-1作矩阵 A=1000001-12含1个向量的线性无关组：α%；α2Qg;α4含2个向量的线性无关组：αααααα4α2,α；α2α4；αα4含3个向量的部分组：α,α2,α，α1,α2,α4，α2α3α都线性相关,α2,α,α4也线性相关
3-3 向量组的秩与极大无关组 引例 0 2 1 , 2 0 1 , 1 1 0 , 1 1 1 找出向量组 1 2 3 4 中所有线性无关的部分组。 作矩阵 0 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 行变换 R(A) 2 含1个向量的线性无关组： 1 2 3 4 ; ; ; 含2个向量的线性无关组： 𝛼1, 𝛼2; 𝛼1, 𝛼3; 𝛼1,𝛼4；𝛼2, 𝛼3；𝛼2, 𝛼4；𝛼3, 𝛼4 含3个向量的部分组： 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3， 𝛼1, 𝛼2, 𝛼4， 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4 都线性相关， 也线性相关。 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4
思考（1）线性无关的部分组所含向量个数是否存在最大值？（此例中，最大值为2）（2）最大规模的部分线性无关组是否唯一？（此例中，不唯一）（3）找出一个最大规模的部分线性无关组α1,α2，其它向量能否由它线性表示？β1,β2,β3,βai,a2,α,α01101β=β-β2,β4=β+β20A=01-1112→α=α-, α=α +α,00000-12可以由它线性表示，且表示法唯一
思考 （1）线性无关的部分组所含向量个数是否存在最大值？ （此例中，最大值为2） （2）最大规模的部分线性无关组是否唯一？ （此例中，不唯一） （3）找出一个最大规模的部分线性无关组 1 ,2 ，其它向量能否由它线性表示？ 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 A 1 2 3 4 , , , 1 2 3 4 , , , 3 1 2 ，4 1 2 3 1 2 ，4 1 2 可以由它线性表示，且表示法唯一
一、向量组的秩与极大无关组定义若向量组T满足：（1）在T中有r个向量αi,α2,,α，线性无关；（2）T中任意r+1个向量（如果有）都线性相关。则称αi,α2，,α,是向量组T的一个极大线性无关组（简称极大无关组），数r称为向量组的秩注1°极大无关组一般不唯一。但所含向量的个数是固定的，即为向量组的秩2°只含零向量的向量组秩为0，不存在极大无关组。3°线性无关的向量组αi,α2，,α，，本身即是极大无关组，秩为s
一、向量组的秩与极大无关组 定义 若向量组 T 满足： （1）在 T 中有 r 个向量 线性无关 ; r , , , 1 2 （2）T 中任意 r+1 个向量（如果有）都线性相关 。 则称 是向量组 T 的一个极大线性无关组（简称极大无关组），数 r 称为向量组的秩。 r , , , 1 2 注 1°极大无关组一般不唯一。但所含向量的个数是固定的，即为向量组的秩。 2°只含零向量的向量组秩为0，不存在极大无关组。 3°线性无关的向量组 1 ,2 , ,s ，本身即是极大无关组，秩为 s
4°向量空间R"是全体n维向量的集合（含无穷多个向量），其秩为n（1）基本单位向量组81,&2，,8n是一个极大无关组；000100（2）任何n个线性无关的向量组也是极大无关组。（因任何n+1个n维的向量组都线性相关）
4° 向量空间 R n 是全体 n 维向量的集合（含无穷多个向量），其秩为 n ； n , , , 1 2 （2）任何 n 个线性无关的向量组也是极大无关组。 （因任何 n +1 个 n 维的向量组都线性相关） 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 1 2 n （1）基本单位向量组 是一个极大无关组；
向量组线性无关台向量组的秩=向量组所含向量个数向量组线性相关台向量组的秩<向量组所含向量个数思考：矩阵的秩与向量组的秩有何联系？能否利用矩阵的初等变换求解向量组的极大无关组？加油！
向量组线性无关 向量组的秩 = 向量组所含向量个数. 向量组线性相关 向量组的秩 < 向量组所含向量个数. 思考：矩阵的秩与向量组的秩有何联系？能否利用矩阵的初 等变换求解向量组的极大无关组？