第一章 第五节 极限运算法则 无穷小运算法则 二、 极限的四侧运算法则 三、复合函数的极限运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1ima=0,lim阝=0， x→x0 x→x0 V6>0,381>0,当0<x-xo<8,时，有a<号 362>0,当0<x-x<δ2时，有f< 取8=min{ò1，d2,则当0<x-xo<δ时，有 a+B≤a+B<号+号=& 因此 lim(a+β)=0. x→x0 这说明当x→x时，a+B为无穷小量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 − 0 0 x x + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， lim 2十.+ n->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(x,δ)，u≤M 又设lima=0,即e>0,382>0,当x∈U(x,δ2) x→x0 时，有a≤号 取δ=min{8,δ2)，则当xeU(x,δ)时，就有 ua=ua≤M.8=e 故lim ua=0,即uc是x→xo时的无穷小 x→x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , 1 2 = 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.求 lim sinx sinx V= x→00 例求 i limx"sin x->O HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例. 求 x x y sin = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求