复变函数第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂αb与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考U
第三节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂a b 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
复变函数一、指数函数1.指数函数的定义：当函数f(z）在复平面内满足以下三个条件：(1)f(z)在复平面内处处解析(2) f(z) = f(z);(3)当Im(z) = 0时, f(z)=ex,其中x =Re(z)此函数称为复变数的指数函数，记为expz = e*(cos y + isin y)U
2 一、指数函数 1.指数函数的定义: 当函数 f (z)在复平面内满足以下三个条件: (1) f (z)在复平面内处处解析; (2) f (z) = f (z); (3) Im(z) 0 , f (z) e , x Re(z). x 当 = 时 = 其 中 = exp (cos sin ) , z e y i y z x = + 此函数称为复变数 的指数函数 记 为
复变函数指数函数的定义等价于关系式：Iexpz [= e*,(其中k为任何整数)Arg(expz) = y + 2kπ,指数函数expz可以用e来表示。e" =e*(cos y+isin y)注意e没有幂的意义只是代替expz的符号U
3 指数函数的定义等价于关系式: ( ) Arg(exp ) 2 , | exp | , 其中k为任何整数 z y k z e x = + = 指数函数exp 可以用 来表示. z z e e e (cos y isin y) z x = + 注 意e 没有幂的意义,只是代替expz的符号. z
复变函数2.加法定理expzi : expzz = exp(z + z2)证 设 z=+i，=X+i左端=expzi·expz2= e*i(cos yi +isin yr)·e*2 (cos y2 + isin y2)= e*i+x2[(cS y1 cOs y2 - sin y1 sin y2)]+ i[(sin yi cos y2 + cos yi sin y2))= exi+x2 [cos(yi + y2)+ isin(y1 + y2)]=exp( +zz)=右端U
4 2. 加法定理 exp exp exp( ) 1 2 1 2 z z = z + z 证 , , 1 1 1 2 2 2 设 z = x + iy z = x + iy 1 2 左端 = exp z exp z (cos sin ) (cos sin ) 1 1 2 2 1 2 e y i y e y i y x x = + + [(sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i y y y y e y y y y x x + + = − + [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 e y y i y y x x = + + + + exp( ) . = z1 + z2 = 右端
复变函数根据加法定理,可以推出expz的周期性expz的周期是2ki,即 ez+2kni =ez.e2knii=e. (其中k为任何整数)该性质是实变指数函数e*所没有的例1 设z = x +iy,求(1)lei-2zl; (2)e; (3)Re(e");因为e" =ex+iy = e*(cos y+isin y)解E所以其模e=e，实部Re(e"）=excosyU
5 根据加法定理,可以推出exp z的周期性, exp z的周期是2ki, . z 2k i z 2k i z e = e e = e 即 + (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 所没有的. x e 例1 , (1) ; (2) ; (3)Re( ); 1 2 2 i z z z z x iy e e e − 设 = + 求 解 e e e (cos y isin y) z x iy x = = + 因为 + e e , Re(e ) e cos y. z x z x 所以其模 = 实部 =