《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性 4-3 向量组的秩

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2设矩阵F22-1一一2111A一2-24-69—9736求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示国下质

            − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵初等行变换A知R(A) = 3,故列向量组的最大无关组含3个向量而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故aj,az,a4,为列向量组的一个最大无关组2国0质

解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ，               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， , , , . 故 a1 a2 a4 为列向量组的一个最大无关组

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH事实上2-1(ar,az,a)=1 1 1初等行变换04-6-2736知R(a,z,a)=3，故a,a2,a,线性无关要把as,a用a,a,,a,线性表示，必须将A再变成行最简形矩阵页回下页

知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上               − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1               0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换 ~

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH?A初等行变换-3a = -ai -α2,即得as = 4a + 3a, - 3a页国下质

              − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ~ A 初等行变换    = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、向量组秩的重要结论定理2设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩证设向量组B的一个最大无关组为B。：b,.…,b,，向量组A的一个最大无关组为 A,：αj，,a,,要证r≤s.因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A组能由A,组线性表示故B,组能由A,组线性表示即存在系数矩阵K=（k),使得福回0下质

. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A B A . : , , , : , , 0 1 0 1 r s A A a a B B b b s r  向量组 的一个最大无关组为 要证 设向量组 的一个最大无关组为 ，  证  定理２ . 0 0 表示， 组能由 组线性表示 因 组能由 组线性表示， 组能由 组线性 A A B B B A . 故B0组能由A0组线性表示 即存在系数矩阵Ksr = (kij ),使得 三、向量组秩的重要结论