例求方程y-3y+y=2的通解 王解特征方程7-3+2=0 特征根7=1,r2=2, 对应齐次方程通解Y=C1e+C2t2x, =2是单根,设y=x(Ax+B)e, 代入方程,得2Ax+B+2A=r∴A= B=-1 于是p=x(x-1)e2x 原方程通解为y=C1p+C2c2+x(x-1l2x 上页
3 2 . 求方程 y′′ − y′ + y = xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0 , 2 r − r + = 特征根 r1 = 1 ， r2 = 2 ， , 2 1 2 x x Y = C e + C e Q λ = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2 A = x , 1 2 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = ∴ B A x y x x e 2 1 ) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1 ) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e 例1
二、f(x)=cP(x) cos ox+P(x) sIna]型 f(x)=e"Pc0sax+ P, sin ax利用欧拉公式 e te lax e e =e +p 2i n)(+i0)x +-)e PP (1-i)x 22 22i P(x)e+)x+P(x)e( -i0)x iy"+py+ay=P(x)e tio)x, h,=xomel +i0)x 上页
二、f (x) = eλx [Pl(x)cosωx + Pn (x)sinωx]型 f (x) e [P cos x P sin x] l n x ω ω λ = + ] 2 2 [ i e e P e e e P i x i x n i x i x l x ω ω ω ω λ − − − + + = l n i x l n i x e i P P e i P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 ( λ+ ω λ− ω = + + − ( ) ( ) , ( i ) x ( i ) x P x e P x e λ+ ω λ− ω = + ( ) , ( i ) x y py qy P x e λ + ω 设 ′′ + ′ + = , ( ) 1 i x m k y x Q e λ + ω = 利用欧拉公式