江画工太猩院 第5节 导数的简单应用
江西理工大学理学院 第 5 节 导数的简单应用
江西理工大学理学院 、曲线的切线、法线问题 对于两条相交的曲线L、L2,它们在交点 处的夹角定义为这条曲线在交点处的切线之间 的夹角(如下图)若记为θ,则有 tane=K2-K1 L + k2 L2 其中k、k2分别为L、L在 交点处的切线的斜率。 0
江西理工大学理学院 一、曲线的切线、法线问题 1 2 2 1 1 tan k k k k + − θ = 对于两条相交的曲线 、 ，它们在交点 处的夹角定义为这条曲线在交点处的切线之间 的夹角（如下图）若记为 ，则有 L 2 θ L 1 L 1 L 2 2 k 1 其中 、 分别为 、 在 k 交点处的切线的斜率。 O x y L1 L2
观西理工大院 例1求曲线习+p=e在点(0,1)处的切线方 程与法线方程 解方程两端对x求导得 y+习y+e"·y'=0 于是有 Vlo, 1=- 故切线方程为 -1=--x 法线方程为y-1=ex
江西理工大学理学院 例1 求曲线 在点 处的切线方 程与法线方程。 xy e e y + = (0 ,1) 方程两端对 求导得 x y + xy'+e ⋅ y′ = 0 y e y 1 | ′ (0 , 1) = − x e y 1 − 1 = − y − 1 = ex 于是有 法线方程为 故切线方程为 解
1+t 江画工太猩院 例2求参数方程 31 :- 2t22t 表示的曲线在仁1处的切线方程与法线方程。 解当t=1时,对应曲线上的点为(2,2) 3t+ dy y(t) 2t2 2 dr x'(t) (1+t)3r22t+3 6 3t+ 2t+3 10 故切线方程为:p-2=10(x-2) 法线方程为:y-2=-(x-2)
江西理工大学理学院 例2 求参数方程 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = . 2 1 2 3 , 1 2 3 t t y t t x 表示的曲线在 t=1处的切线方程与法线方程。 当 时，对应曲线上的点为 t = 1 , 2 3 2 3 ( 1 ) 3 2 3 1 ( ) ( ) 2 6 3 2 3 2 + + = − + − − = ′ ′ = t t t t t t t t t x t y t dx dy 10 7 | 2 3 2 3 | 1 2 1 = + + t = = t = t t t dx dy ( 2 ) 10 7 y − 2 = x − ( 2 ) 7 10 y − 2 = − x − 故切线方程为： 法线方程为： 解 ( 2 , 2 )
江画工太猩院 例3求两曲线y=x与y=一交点处的夹角 x y=r 解联立 可知交点为(1,1) y 在交点处它们的切线斜率分别为 k1=(x2)1-1=2,k2=(yl=1=-1 k,-k, 若取∈1,,则由tan 1+k,k. 可得O= arctan3≈7160
江西理工大学理学院 例3 求两曲线 与 交点处的夹角。 2 y = x x y 1 = 联立 可知交点为 。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y y x 1 2 ( 1 , 1 ) ) | 1 1 ( ) | 2 , ( 1 2 1 2 1 = ′ x = = = ′ x = = − x k x k 在交点处它们的切线斜率分别为： ] 2 [0, π θ ∈ 3 1 tan 1 2 2 1 = + − = k k k k 若取 ，则由 ， θ 0 可得 θ = arctan 3 ≈ 71.6 解