江画工太猩院 第6节 微分及其应用
江西理工大学理学院 第 6 节 微分及其应用
江画工太猩院 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x1变到x0+△x, 正方形面积A=xn △A=(x0+△)2-x A 2xn△x+(△x)2 (1):Ax的线性函数,且为△A的主要部分; (2):△x的高阶无穷小,当△r很小时可忽略
江西理工大学理学院 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 . 2 A = x 0 0 x 0 x , 0 0 设边长由 x 变到 x + ∆ x , 2 Q正方形面积 A = x 0 2 0 2 0 ∴ ∆A = ( x + ∆x ) − x 2 ( ) . 2 = x 0 ⋅ ∆x + ∆x ( 1 ) ( 2 ) ∆ x的线性函数 ,且为 ∆ A的主要部分 ; ∆ x的高阶无穷小 , 当 ∆ x 很小时可忽略 . ( 1 ): ( 2 ): ∆ x ∆x 2 ( ∆x ) x ∆x 0 x ∆x 0
江画工太猩院 再例如,设函数y=x在点x处的改变量 为△时,求函数的改变量Δy 4y=(x0+△x)3-x0 =3x2.△x+3xn(△x)2+(△)3 当Ax很小时,(2)是△x的高阶无穷小0(△x, ∴4y≈:3x2·△x—既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
江西理工大学理学院 再例如, , . 0 3 x y y x x ∆ ∆ = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 ∆y = (x + ∆x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 ⋅ ∆x + x ⋅ ∆x + ∆x (1) (2) 当∆x很小时, 3 . 2 ∴∆y ≈ x0 ⋅ ∆x (2)是∆x的高阶无穷小 o(∆x ), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
江画工太猩院 微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义, xn及x0+△在这区间内,如果 Δy=f(x0+△x)-f(x0)=A·△x+0(△x) 成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数 y=f(x)在点x可微,并且称A.△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量Δc的微分, 记作小,或(x,即小x=AA 微分小叫做函数增量y的线性主部微分的实质)
江西理工大学理学院 二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = ⋅ ∆ = ∆ = ⋅ ∆ ∆ ∆ = + ∆ − = ⋅ ∆ + ∆ + ∆ = 记作 = 或 即 = 在点 相应于自变量增量 的微分 在点 可微 并且称 为函数 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量 ∆y的线性主部 .(微分的实质)
江画工太猩院 由定义知 (1)是自变量的改变量△x的线性函数; (2)4y-y=0(△x)是比△x高阶无穷小; (3)当A≠0时,p与△y是等价无穷小; =1+ 0(△x) dA.△ →1(△x→>0). (4)A是与△x无关的常数,但与f(x)和x有关; (5)￥△x很小时,A≈小(线性主部)
江西理工大学理学院 由定义知: (1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数 ; (2) ∆y − dy = o(∆x)是比 ∆x高阶无穷小 ; (3)当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小 ; dy ∆y Q A x o x ⋅ ∆ ∆ = + ( ) 1 → 1 (∆x → 0). (4) , ( ) ; A是与 ∆x无关的常数 但与 f x 和x0有关 (5)当∆x很小时,∆y ≈ dy (线性主部)