《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.8常系数二阶非齐次线性微分方程

第·节常系数非齐次线性微分方程型一、f(x)=ePm(x)型二、f(x) =e[P(x)cosax + P,(x)sin ax]三、小结

第八节 常系数非齐次线性微分方程 • 一、 型 • 二、 型 • 三、小结 f (x) e P (x) m x  f x e P x x P x x l n x    ( )  ( )cos  ( )sin

二阶常系数线性非齐次微分方程：y"+py'+qy=f(x)（p,q为常数)1根据解的结构定理，其通解为y=Y+x*齐次方程通解非齐次方程特解求特解的方法一待定系数法根据f(α)的特殊形式，给出特解*的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数

y p y q y f x      ( ) ( , ) p q 为常数 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y Y y   * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 给出特解 y*

本节只介绍取两种特殊形式时微分方程的解这两种形式分别是：(1)f(x)= Pm(x)eax,其中a是常数，Pm(x)是x的一个m次多项式：P.(x) = a,x" +a,x"- +..+a.-x+ am其中(2)f(x) = eax[P(x)cos ox + P,(x)sin oxl,、の是常数，P(x)P,(x)分别是x的I次和n次的多项式，其中一个可以为零

1 0 1 1 (1) ( ) ( ) , ( ) ( ) x m m m m m m m f x P x e P x x m P x a x a x a x a           其中 是常数， 是 的一个 次多项式； 本节只介绍取两种特殊形式时微分方程的解， 这两种形式分别是： (2) ( ) [ ( )cos ( )sin ] ( ) ( ) x l n l n f x e P x x P x x P x P x x l n        ，其中 、 是常数， 、 分别是 的 次和 次 的多项式，其中一个可以为零

一、f(x)=eaxP.(x)型当f(x)=exPm(x)时,方程左边是函数的导数的和,由指数函数的性质，可以猜想，方程的特解也应具有这种形式设非齐方程特解为 y*=Q(x)ex 代入原方程y*" =eax[a Q(x)+Q'(x)]y*" = eax[a? Q(x)+2aQ'(x)+Q" (x)]Q"(x)+(2a+ p)Q'(x)+(a? + pa +q)Q(x) = Pm(x)

( ) ( ) x m f x e P x  一 、  型 当f(x)e xPm(x)时 方程左边是函数的导数的和， 由指数函数的性质，可以猜想 方程的特解也应 具有这种形式. 设非齐方程特解为 * ( ) x y Q x e  代入原方程 * [ ( ) ( )] x y e Q x Q x       2 * [ ( ) 2 ( ) ( )] x y e Q x Q x Q x         2 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x p Q x p q Q x P x    m        

(1)若a不是特征方程r2+pr+=0的根：则?+pa+q0,可设 Q(x)= Qm(x), y* = Qm(x)e;(2)若是特征方程r2+pr+q=0的单根则2+p+=0, 2+p0,可设 Q(x) = xQm(x), y* = xQm(x)ex;

2 (1) 0 若不是特征方程r pr q +   的根， 2 则     p q 0,2 (2) 0 若是特征方程r pr q +   的单根， 2 则     p q 0, 2  p  0, ( ) ( ), * ( ) ; m x m Q x x Q y e Q x  可设   ( ) ( ), * ( ) ;x m m Q xQ x x y xQ x e  可设  