第二节西数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合茜数的求导法则四、基本求导法则与求导公式五、小结思考题
第二节 函数的求导法则 • 一、和、差、积、商的求导法则 • 二、反函数的求导法则 • 三、复合函数的求导法则 • 四、基本求导法则与求导公式 • 五、小结 思考题
一、和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u(x)，v(x)在点x处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处也可导，并且(1) [u(x)±v(x))' = u'(x)±v'(x);(2) [u(x) · v(x))' = u(x)v(x) +u(x)v'(x);u'(x)v(x)-u(x)v(x)X(3) [(v(x) ± 0)v(x)v(x)
一、和、差、积、商的求导法则 (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); u x v x u x v x u x v x = + 定理1 ( ), ( ) , ( ) , u x v x x x 如果函数 在点 处可导 则它 们的和、差、积、商 分母不为零 在点 处也 可导 并且 (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ); u x v x u x v x = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) [ ] ( ( ) 0). ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x v x − =
证: (2)[u(x).v(x)' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x);[u(x)(x)]u(x + Ar)v(x + Ax)-u(x)v(x)lim=ArAr→0u(x+△x)-u(x)v(x+Ar)-v(x)v(x + Ax)+ u(x)limAxArAr-→0u(x+△x)-1v(x + Ar) -v(x)u(xlim v(x + Ax)+u(x) lim= limAxArAr-→0Ar-→0Ar-→0=u(x)v(x)+u(x)v'(x)lim v(x+Ax)=v(x) 是由于 v'(x) 的存在其中Ar-→0
证： (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); u x v x u x v x u x v x = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim x x x x x u x v x u x x v x x u x v x x u x x u x v x x v x v x x u x x x u x x u x v x x v x v x x u x x x u x v x u x v x → → → → → + + − = + − + − = + + + − + − = + + = + 其中 ( ) 0 lim ( ) x v x x v x → + = 是由于 v x ( ) 的存在
u(x)设 f(x)=证(3)(v(x) ± 0),v(x)f(x+h)- f(x)f'(x)= limhh-→0u(x + h)u(x)v(x)v(x + h)= limhh-→0u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h= limh-→0v(x +h)v(x)h
证(3) , ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) = v x v x u x 设 f x h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → v x h v x h u x h v x u x v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − + = → h v x u x v x h u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 − + = →
[u(x + h)-u(x)lv(x)-u(x)[v(x + h)-v(x)= limh-→0v(x +h)v(x)hu(x+ h)-u(x)v(x +h) -v(x)2. (x) -u(x).hh= limh-→0v(x + h)v(x)u'(x)v(x)-u(x)v(x)[v(x)]}?:f(x)在x处可导
v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x = f (x)在x处可导