第三节齐次方程、齐次方程*二、可化为齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第三节 齐次方程
一、齐次方程dy=g()形如的微分方程称为齐次方程1.定义=x例如:(xy- )dx =(x2-2xy)dyVxy- y?dydy可化为：x即：dxx?-2xydx1-2()作变量代换u=,即 y=xu,2.解法北dudydx=u+xdx
一、齐次方程 2 2 例如： ( ) ( 2 ) xy y dx x xy dy 2 2 2 dy xy y dx x xy 可化为： ( ) dy y dx x 形如 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , y u x 作变量代换 即 y xu , , dy du u x dx dx 1.定义 2 ( ) 1 2( ) y y dy x x dx y x 即：
du= p(u),u+x代入原式dxduq(u)-u即可分离变量的方程dxx分离变量得：dudxp(u)-ux两端积分得：du得(m)-=[
, ( ) du dx u u x 得 代入原式 ( ), du u x u dx ( ) . du u u dx x 即 可分离变量的方程 分离变量得： ( ) du dx u u x 两端积分得：
例1 求方程 (x- ycos)dx+ xcos=dy =0.xx1dy_y解：原方程整理得dxyxcosxdudy令u=,则= x+u,dxdxrdu于是原方程变为一x+u=u-dxcosudx即 cosudu=sinu=-In|x|+Cx= -In|x|+C.微分方程的解为sinx
例1 求方程 ( cos ) cos dy 0. x y dx x x y x y y dy du u x u x dx dx 令 ，则 ， 1 cos du x u u dx u 于是原方程变为 cos , dx udu x 即 sinu ln | x | C, sin ln . y x C x 微分方程的解为 解:原方程整理得 1 cos dy y dx x y x
求方程(1+e )ydx=(x-y)dy的通解分析把x看作v的函数.求解比较方便一dxdxX解齐次方程-dydy1VV1+edxduu==,则令Jx=uyu+2dyydy一du方程变为(u-1)u+y一udy1te可分离变量方程
分析 把x看作y的函数,求解比较方便. 解 d 1 ( 1) d 1 x y x x y y e , y x 令 u 则 x uy, , d d d d y u u y y x 方程变为 d 1 ( 1) d 1 u u u y u y e 齐次方程 可分离变量方程 d d x x f y y (1 ) ( ) x y e ydx x y dy 求方程 的通解