第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率隐茜数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率·五、小结思考题
第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率 • 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
隐函数的导数一、定义:由方程F(x,J)=0所确定的函数称为隐函数y=f(x)形式称为显函数例如,x--1=0可确定显函数 =x-1y+2-x-3x=0可确定y是x的函数F(x,y)=0 → y=f(x)隐函数的显化1问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？
一、隐函数的导数 定义: 由方程F x y ( , ) 0 . = 所确定的函数称为隐函数 y f x = ( ) . 形式称为显函数 F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 3 例如, y x = − 1 3 x y − − =1 0 可确定显函数 5 7 y y x x + − − = 2 3 0 可确定 y 是 x 的函数
例1 求由方程 xy-e＊+e=0所确定的隐函数dy dyy的导数x=0dx dx解方程两边对x求导dy业etej=0十y+xdxe由原方程知x=0,y=0，解得x+eydyet=x=0 =1.x=0dxx+eyV=0
例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 x x x y y dy e y dx x e = = = − = + = 1
求隐函数的导数时，只要记住x是自变量v是x的函数，于是v的函数便是x的复合函数将方程两边同时对求导,就得到一个含有导数y的方程.从中解出即可。虽然隐函数没解出来，但它的导数求出来了，当然结果中仍含有变量！一般来说，隐函数求导，允许在y的表达式中含有变量y
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 允许在 y 的表达式中含有变量y. y 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数
例2.求由方程+2y-x-3x=0确定的隐函数dyy= y(x)在x=0 处的导数cx=0dx解：方程两边对x求导d(j5 +2y- x -3x)= 0dxdydy4得+25y-21x° = 0dxdx_ 1+21x6dydx5*+2因x=0时y=0，故/x=0=2
例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 4 d 5 d y y x d 2 d y x + −1 6 −21x = 0 6 4 d 1 21 d 5 2 y x x y + = + 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数