《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.6极限存在准则、两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限极限存在准则二、两个重要极限三、小结 思考题

第六节 极限存在准则 两个重要极限 • 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题

一、夹逼准则准则I如果数列x,，J,及z，满足下列条件(n = 1,2,3...)(1) y, ≤x, ≤zn(2) lim yn = a,lim zn = a,n-n0那么数列x,的极限存在，且 limx,=a.n→证 :yn→a, zn→a,>0, N,>0,N,>0, 使得

一、夹逼准则 证 , , n n y a z a   1 2       0, 0, 0, N N 使得 , (1) ( 1,2,3 ) (2) lim , lim , li I m . n n n n n n n n n n n n n x y z y x z n y a z a x x a           如果数列 及 满足下列条件 那么数列 的极限存在，且 准则

当n>N时恒有y,-a<8,当n>N,时恒有z,-a<8,取 N = max(N,N,},上两式同时成立即a<,a-s<z,<a+s,当n>N时, 恒有 a-<y,≤x,≤z<a+&,即x,-a<成立,.. lim x, = a.n-→8上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

, 1 n  N y  a   当 时恒有 n max{ , }, 取 N  N1 N2 当 n  N时, 恒有 a    y  a  , 即 n , 2 n  N z  a   当 时恒有 n a    z  a  , n 上两式同时成立, a    y  x  z  a   , n n n 即 x  a   成立, n lim x a. n n    上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则I' 如果当xεU(x,)(或|x>M)时，有(1) g(x)≤ f(x)≤h(x),(2) lim g(x) = A,lim h(x) = A,x→Xox→xo(x→00)(x-→0)那么 lim f(x)存在，且等于A.x-→xo(x→00)准则I和准则I‘称为夹逼准则注意：利用夹逼准则求极限关键是构造出y,与zn并且y,与z,的极限是容易求的

注意: 准则 Ⅰ和准则 Ⅰ′称为夹逼准则. 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , )( ) (1) ( ) ( ) ( ), (2) lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) . I o x x x x x x x x x x U x x M g x f x h x g x A h x A f x A                如果当 或| | 时，有 那么 存在，且等于 准则 , . n n n n y z y z 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 并且 与 的极限是容易求的

求 lim(例12n-+2+1+nVn'nM11nn解22+1Vn'+1+nVnVn+nvn1n又 limlim=21n-n-→>8n+n1十nnlimlim由夹逼定理得:12n-+1n→80n1+1lim() =1.22n-→Vn?+2+1+nVnVn

例1 2 2 2 1 1 1 lim( ). 1 2 n n n n n         求 解 2 2 2 2 1 1 , 1 1 n n n n n n n n         n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim      又  1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n       1, 由夹逼定理得 2 2 2 1 1 1 lim( ) 1. 1 2 n n n n n         