第二节 洛必达法则08型及型未定式解法：洛必达法则二08二、0.80,80-0,0°,1°80°型未定式解法三、 小结
第二节 洛必达法则 二、0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式解法 三、小结 一、型及 型未定式解法 :洛必达法则 0 0
18型及型未定式解法：洛必达法则08定义如果当x→a(或x→8)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那末f(x)极限lim可能存在、也可能不存在．通F(x)x-→a(x-→80)080或型未定式。常把这种极限称为一08Insinaxtanxlimlim例如,x-o lnsin bxx-0X此类极限不能直接用或根本不能用四则运算法则求
0 : 0 一、 型及 型未定式解法 洛必达法则 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( ) 此类极限不能直接用或根本不能用四则运算法 则求
定理 设(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2)在a点的某去心邻域内,f'(x)及 F'(x)都存在且 F'(x)± 0;f'(x)存在(或为无穷大);(3) limF'(x)x-→af(x)f'(x)那末lim=limx-a F'(x)F(x)x-→a格必达，G.-F.-A.de>定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
(1) , ( ) ( ) ; (2) , ( ) ( ) ( ) 0; ( ) (3) lim ( ); ( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a x a x a f x F x a f x F x F x f x F x f x f x F x F x 设 当 时 函数 及 都趋于零 在 点的某去心邻域内 及 都存在 且 存在 或为无穷大 那末 → → → → = 定理 ➢ 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则
1694.7.22伯努利莱布尼兹洛必达欧拉拉格朗日柯西
洛必达 柯西 拉格朗日 欧拉 伯努利 莱布尼兹 1694.7.22
证：定义辅助函数F(x),[f(x),x+ax±aF(x)=fi(x) =1.0,0,x=ax=a在U(a,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上，f(x),F(x)满足柯西中值定理的条件，则有f(x) _ fi(αx)-f(a) - f() _f'(5)(在x与a之间）F(x)F(x)-F(a)F()F'()f'(E)f'(x) lim存在,当x→a时,→,lima F'(x)5→a F'(5)x-→af(x)f'(x)lim..limF'(x)F(x)x-→ax-→a
证: 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , o 在U a x 内任取一点 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a F x F x F a − = − 1 1 ( ) ( ) f F = (在x与a之间) 当x → a时, → a, ( ) ( ) lim lim , ( ) ( ) a x a f f x F F x → → = 存在 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x = ( ) ( ) F f =