第四节天无穷小乌无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、小结练习题
第四节 无穷小与无穷大 • 一、无穷小 • 二、无穷大 • 三、无穷小与无穷大的关系 • 四、小结 练习题
一、无穷小> 1、定义：如果函数f(x)当x→x,(或x→)时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x,(或x→)时的无穷小特别地，以零为极限的数列{x,}称为n→o0时的无穷小
1、定义: 特别地，以零为极限的数列x n n 称为 时的无穷小 一、无穷小 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x f x x x x 如果函数 当 或 时的极限 为零，那么称函数 为当 或 时的无穷小
例如,limsinx=0.函数sinx是当x→0时的无穷小x->01二是当x→8时的无穷小二=0..函数limX-0xx(-1)"(-1)"=0,..数列是当n→8时的无穷小lim一n-00n注（1）必须指明自变量的变化过程；意（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆（3）零是可以作为无穷小的唯一的数
例如, 注 意 （2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （3）零是可以作为无穷小的唯一的数. 0 limsin 0, sin 0 . x x x x 函数 是当 时的无穷小 1 1 lim 0, . x x x x 函数 是当 时的无穷小 ( 1) ( 1) lim 0, { } . n n n n n n 数列 是当 时的无穷小 （1）必须指明自变量的变化过程;
>2、无穷小与函数极限的关系：定理1 在自变量的同一变化过程x→x(或x→0)中,函数f(x)具有极限A的充要条件是f(x)= A+α,其中α(x)是无穷小证：必要性设 lim f(x)= A,令 α(x)= f(x)-A,xx则有 lim α(x)= 0, ::. f(x) = A + α(x).x-→xo充分性 设 f(x)= A+α(x),其中α(x)是当x→x,时的无穷小则 lim f(x) = lim(A+α(x)= A+ lim α(x) = A.x-→xox-Xox→Xo
2、无穷小与函数极限的关系: 证: 必要性 0 lim ( ) , ( ) ( ) , x x f x A x f x A 设 令 lim ( ) 0, 0 x x x 则有 f (x) A (x). 充分性 设 f (x) A (x), ( ) , 其 中 x 是 当x x0时的无穷小 0 0 0 lim ( ) lim( ( )) lim ( ) . x x x x x x f x A x A x A 则 0 ( ) 1 ( ) , ( ) x x x f x A f x A x 在自变量的同一变化过程 (或 ) 中,函数 具有极限 的充要条件是 其中 是 定理 无穷小
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2）给出了函数 f(x)在 x。附近的近似表达式 f(x) ~ A, 误差为α(x)
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为 （ ）给出了函数 在 附近的近似表达