第三节泰勒公式问题的提出二、泰勃公式三、 简单应用四、小结
第三节 泰勒公式 • 一、问题的提出 • 二、泰勒公式 • 三、简单应用 • 四、小结
问题的提出1.设f(x)在x,点连续则f(x) ~ f(xo)[f(x) = f(x)+α]2.设f(x)在x,点可导，则f(x)~ f(x,)+ f'(x.)(x-x)[f(x)= f(x)+ f'(x)(x-x)+o(x -x))不足：1、精确度不高；2、误差不能估计
0 0 0 1. ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] f x x f x f x f x f x = + 设 在 点连续则 0 0 0 0 0 0 0 0 2. ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] f x x f x f x f x x x f x f x f x x x o x x + − = + − + − 设 在 点可导，则 一、问题的提出 不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计
问题：寻找函数P.(x),使得f(x)~ P,(x)误差R,(x)= f(x)-P,(x)可估计设函数f(x)在含有x,的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，P,(x)为多项式函数P(x) = a +a(x-x)+a,(x-x) +...+a,(x-x)"误差 R,(x)= f(x)-P,(x)
问题: n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 + − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n ( ), ( ) ( ) 寻找函数P x f x P x n n 使得 ( ) ( ) ( ) 误差R x f x P x n n = − 可估计 0 ( ) ( , ) ( 1) ( ) n f x x a b n P x + 设函数 在含有 的开区间 内具有直到 阶导数， 为多项式函数
假设 P(k)(x)= f(k)(x) k =1,2,...,nao = f(xo), 1.a = f'(xo), 2!a, = f"(xo)n!a, = f(n(x,)1得=(x)(k = 0,1,2,..,n)k!代入P,(x)中得f"(xo)P,(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo)+x-x·2!f("(x)(x - x)"n!
0 0 a f x = ( )， 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 1 0 1 ( ), = a f x 2 0 2! ( ) = a f x , ( ) 0 ! ( ) n n a f x n = ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 1,2, , k k 假设 P x f x k n n = = ( ) 0 1 ( ) ( 0,1,2, , ) ! k k a f x k n k 得 = =
泰勒(Taylor)中值定理二、天泰勒，E.泰勒(Taylor)中值定理1如果函数f(x)在x,的处具有直到n阶的导数，则对任一x E(a,b)，有f"(x)f(x)= f(xo)+ f'(x)(x-x)+(x-x)2!f(n)(xo)(x-x)" + R,(x)++n!其中 R,(x)=o(x-x)"(在x,与x之间)佩亚诺(Peano)型的余项
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( (Taylor) 1 ) ( ) n n n n n f x x n x a b f x f x f x f x x x x x f x x x R x n R x o x x x x = + − + − + + − + = − 如果函数 在 的处具 有直到 阶的导数，则对任一 ，有 其中 在 与 泰 中值定理 之间 勒 二、泰勒(Taylor)中值定理 佩亚诺(Peano)型的余项