曲率第七节、孤微分、曲率及其计算公式三、 曲率圆与曲率李径四、小结
第七节 曲率 • 一、弧微分 • 二、曲率及其计算公式 • 三、曲率圆与曲率半径 • 四、小结
一、弧微分V设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数MA基点: A(xo,yo),xM(x,y)为任意一点0xx规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致;(2)有向弧段AM的值是s,=±|AM|，当AM的方向与曲线正向一致时，s取正号，相反时，s取负号显然s= s(x)是单调增函数
0 0 ( ) ( , ) . : ( , ), ( , ) , f x a b A x y M x y 设函数 在区间 内具有连续导数 基点 为任意一点 A 0 x M x x yo 规定： (1) ; 曲线的正向与x增大的方向一致 (2) , , , , . AM s s AM AM s s 有向弧段 的值是 = , 当 的方 向与曲线正向一致时 取正号 相反时 取负号 显然s s x = ( ) . 是单调增函数 一、弧微分
山设N(x+△x,y+Ay),对应于x的N增量△x，弧s的增量为△s=MN，MARMNMNS( ()I-MMt元Ax0x+ArAxxx(Ax) +(Ay)2MNMN()[1+((△x)?MNMNAxMNAsMN[1+()1土一又: lim±1MNArAXMN4x→0dsASAs=±/1+(y): s= s(x)是单调增函数limdxAx-0Ax: ds = /1 + y"dx弧微分公式
2 s x + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) M N x y M N x = + 2 2 [1 ( ) ] M N y M N x 2 0 lim 1 ( ) x ds s y dx x → = = + 0 lim 1 x M N → M N 又 = = + 2 2 [1 ( ) ] s M N y x M N x 2 = + 1 ds y dx N x x y y x ( , ), x s s MN 设 对应于 的 增量 ，弧 的增量为 ， + + = N A R 0 x M x x + x x y o s s x = ( ) 是单调增函数 = 2 2 M N M N M N x = 2 M N x 弧微分公式
曲率及其计算公式二、日1、曲率的定义（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质Aa2AaM'AS,AS,M2MM3NASAS,NAaM,弧段弯曲程度转角相同弧段越越大转角越大短弯曲程度越大
M1 M3 2 M2 S2 S1 1 M M S1S2 N N 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 二、曲率及其计算公式
V设曲线C是光滑的，M'M是基点.MM=As,ASAαSMM→M'切线转角为△αα+Aαax0Aα定义：弧段MM的平均曲率为KAsAa曲线C在点M处的曲率 K = limAsAs-0da△αda在lim存在的条件下，K=AsdsAs-0ds
+ S S ) . M. M C M0 y o x MM K . s = 定义：弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， M 是基点. MM = s , M M → 切线转角为 . 0 lim s K s → = 曲线C在点M处的曲率 lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . d K ds =