第四节一阶线性微分方程一阶线性微分方程二、 伯劳利方程三、小结
第四节 一阶线性微分方程 • 一、一阶线性微分方程 • 二、伯努利方程 • 三、小结
一、一阶线性方程一阶线性微分方程的标准形式+ P(x)y=Q(x)dx当Q(x)=0，上方程称为齐次的。当Q(x)丰0，上方程称为非齐次的.dxdy例如xsint+t2，线性的；V+x二drdt非线性的.yy-2xy = 3, y'-cos y = 1
( ) ( ) dy P x y Q x dx 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 当Q x( ) 0, 例如 , 2 y x dx dy sin , 2 x t t dt dx yy 2xy 3, y cos y 1, 线性的; 非线性的. 一、一阶线性方程
一阶线性微分方程的解法dy+ P(x)y = 0.1.一阶线性齐次方程dxdy变量分离得2 = -P(x)dx,j=-[ P(x)dt,两端积分得1即In / y |=-{P(x)dx + InC1,齐次方程的通解为 J=Ce-[ P(x)te
P(x) y 0. dx dyP(x)dx, y dy ( ) , P x dx y dy ln | | ( ) ln , C1 y P x dx 齐次方程的通解为 . ( ) P x dx y Ce 1.一阶线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 变量分离得 两端积分得 即
dy2.一阶线性非齐次方程+ P(x)y = Q(x)dxQ(x) _ P(x) dx,dy讨论1Q(x)dx-[ P(x)dx,两边积分 In|=[yg(x)设dx为v(x), :. In||= v(x)- [ P(x)dx,y即 =e'(x)e-[P(x)dx。非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比： C→u(x)
2. 一阶线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy 两边积分 ( ) ln ( ) , Q x y dx P x dx y ( ), ( )dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y v x P x dx . ( ) ( ) v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: C u x ( )
常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法y= u(x)e-Jp(x)de作变换y'=u(x)e- P(r)e-J P(x)dx+ u(x)[-P(x)]e将y和代入原方程得
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 作变换 ( ) ( ) P x dx y u x e ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) P x dx P x dx y u x e u x P x e 将y和y代入原方程得