第五节极限运算法则无穷小的运算法则二、 极限运算法则三、 求极限方法举例
第五节 极限运算法则 • 一、无穷小的运算法则 • 二、极限运算法则 • 三、求极限方法举例
无穷小的运算法则：一、3定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。证：考虑两个无穷小的情况设α及β是当x→8时的两个无穷小V ε>0,FX, >0,X, >0,使得-当μ>X,时恒有|α<号;当μ>X,时恒有[βl2取 X=max[X,,X,}, 当|x|>X时,恒有
一、无穷小的运算法则: 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证： 设 及 是当x 时的两个无穷小, 考虑两个无穷小的情况 1 2 1 2 0, 0, 0, ; ; 2 2 X X x X x X 使得 当 时恒有 当 时恒有 取 X X X max{ , }, 1 2 当 x X 时,恒有
6[α±β≤[al+[β]<+=8:.α±β→0(x→8)有限个无穷小的情形同样可以证明>注无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,1例如, n →时,是无穷小，n但个一之和不是无穷小.n
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 , , 1 . n n n 例如 时 是无穷小， 但 个 之和不是无穷小 , 2 2 0 ( ) x 有限个无穷小的情形同样可以证明
定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小证设函数u在U°(xo,8,)内有界则M>0,8,>0,使得当0<x-x<,时恒有u≤M.又设α是当x→x,时的无穷小，:>0,380,使得当0-时8恒有|α<M
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 0, 0 1 0 1 u M M x x 恒有 则 使得当 时 0 又设是当x x 时的无穷小, 2 0 2 0, 0, 0 . x x M 使得当 时 恒有
取8=min[1,},则当0<x-x<时,恒有[u.α| =|ul al< M.%=8,M.当x→x,时,u·α为无穷小推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小例如,当x→0时,xsin一,x’arctan=都是无穷小xx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 0 当x x u 时, . 为无穷小 1 1 2 , 0 , sin , arctan x x x x x 例如 当 时 都是无穷小 0 则当0 , x x 时 恒有 u u M , M