第五节 函数的极值与最大最小值、函数极值及其求法二、最大最小值问题三、小结
第五节 函数的极值与最大最小值 • 一、函数极值及其求法 • 二、最大最小值问题 • 三、小结
一、函数的极值及其求法1、函数极值的定义定义设函数f(x)在点x的某邻域U(x.)内有定义如果对于去心邻域U(x)内的任一点x有f(x)<f(xo) (或f(x)>f(xo)那么就称f(x)是函数f(x)的一个极大值(极小值);函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点
0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ) ( ); f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x 设函数 在点 的某邻域 内有定义 如果对于去心邻域 内的任一点 有 或 那么就称 是函数 的一个极大值 极小值 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 一、函数的极值及其求法 1、函数极值的定义
Vy= f(x)xax0xxxxxb0XoXo0xx
o x y a b y = f (x) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o x y o x y x0 x0
2、函数极值的求法定理1(必要条件）设f(x)在点x,处可导，且在点x,处取得极值，那么必有f(x)=0>注意：(1)可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点(2)极值也有可能在不可导点取得例如，= x",J"|x=o=0,但x=0不是极值点y=x|在x=0点不可导，但是取得极小值
➢ 注意: (1) ( ) , . f x 的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却不一定 导函数 是极值点 可 例如, 3 0 , 0, 0 . x y x y x = = = = 但 不是极值点 2、函数极值的求法 (2)极值也有可能在不可导点取得 y x x = = 0 在 点不可导，但是取得极小值. 0 0 0 1( ( ) ( ) 0 ) f x x x f x = 设 在点 处可导，且在点 处取得极值，那么必有 定理 必要条件
定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x,处连续，且在x,的某去心邻域1U(x,)内可导(1)如果x E(x -S,x,),有f'(x)>0;而x E(x,x, +),有f'(x)<0，则f(x)在x,处取得极大值;(2)如果x E (x, -S,x.),有f(x)<0;而x E (xo,x +),有f'(x)>0，则f(x)在x,处取得极小值;(3)如果x E(x, -S,x)及xE(xo,x。 +), f'(x)符号相同，则f(x)在x,处不取得极值
定理2(第一充分条件) 0 0 0 0 ( ) ( ) f x x x U x 设函数 在 处连续，且在 的某去心邻域 内可导 0 0 0 0 0 (1) ( , ), ( ) 0; ( , ) ( ) 0 ( ) x x x f x x x x f x f x x − + 如果 有 而 ， 有 ，则 在 处取得极大值； 0 0 0 0 0 (2) ( , ), ( ) 0; ( , ) ( ) 0 ( ) x x x f x x x x f x f x x − + 如果 有 而 ， 有 ，则 在 处取得极小值； 0 0 0 0 0 (3) ( , ) ( , ) ( ) ( ) x x x x x x f x f x x 如果 − + 及 ， 符号相同，则 在 处不取得极值