第七节常系数齐次线性微分方程、定义一二、二阶常系数齐次线性方程解法三、n阶常系数齐次线性方程解法
第七节 常系数齐次线性微分方程 • 一、定义 • 二、二阶常系数齐次线性方程解法 • 三、n阶常系数齐次线性方程解法
一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式y(n) + piy(n-I) +...+ Pn-iy'+ pny = f(x)二阶常系数齐次线性方程的标准形式y" + py' + qy = 0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y" + py' + qy = f(x)其中，p、q是常数
( ) ( 1) 1 1 ( ) n n n n y p y p y p y f x n阶常系数线性微分方程的标准形式 y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y py qy f x ( ) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 其中，p、q是常数. 一、定义
二、二阶常系数齐次线性方程解法----特征方程法y" + py' + qy = 0设=e，将其代入上方程,得(r2 + pr +q)ex = 0: erx +0,特征方程故有 r2+ pr+q= 0特征根 ri,=二p±Vp"-4q2
-特征方程法 , rx 设 y e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 rx r pr q e 0, rx e 故有 2 r pr q 0 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r 特征根 y py qy 0 二、二阶常系数齐次线性方程解法
(△ > 0)有两个不相等的实根特征根为r,=二P+p"-4gp-p-4qr=二22两个线性无关的特解Jz =e2xYi =e'i*,e得齐次方程的通解为 =C,e'ix +C
有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r , 2 4 2 2 p p q r 1 1 , r x y e 2 2 , r x y e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 1 2 1 2 ; r x r x y C e C e ( 0) 特征根为
(△ = 0)有两个相等的实根pi =e'ix特征根为 r =r =一特解为2设另一特解为 yz =u(x)e'ix将z，，代入原方程并化简，u" +(2r + p)u'+(r? + pr +q)u = 0,知 u"=0，取 u(x)=x，贝则 y, = xe'ixy=(C +C,x)eix:得齐次方程的通解为
有两个相等的实根 1 1 , r x , y e 2 1 2 p r r ( 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 1 1 2 ( ) ; r x y C C x e 将 y2 y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u r1 p u r1 pr q u 知 u 0, 取 u(x) x, 1 2 , r x 则 y xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y u x e 特征根为