第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程二、 典型例题三、小结
第二节 可分离变量的微分方程 • 一、可分离变量的微分方程 • 二、典型例题 • 三、小结
一阶方程的一般形式为 F(x,y,J")=0或dy f(x,y)=dx一阶方程有时也可以写成如下的对称形式P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式.所以本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法
一阶方程的一般形式为 F x y y ( , , ) 0 或 ( , ) dy f x y dx 这个方程虽然简单，也常常很难求出解的 有限表达式,所以本节只讨论几种特殊类型的一 阶微分方程的解法. 一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0
一、可分离变量的微分方程g(y)dy = f(x)dx可分离变量的微分方程A41dy= 2xys → y5dy =2xdx,例如dx这类方程的特点：经过适当整理，可使方程的一端只含有一个变量和其微分
g y dy f x dx ( ) ( ) 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 4 5 2 y dy x dx 2 , 这类方程的特点: 经过适当整理，可使方程的一端只含有一个变 量和其微分. 一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法：1g(y)dy = f(x)dx设y=@(x)是方程①的解，则有恒等式g(p(x)p'(x)dx = f(x)dx分离变量法两边积分，得g(y)dy =[ f(x)dxG(y)F(x)②则有G(y) = F(x)+C当G(y)和F(x)可微,且G(y)=g(y)±0时，上述过程可逆,说明由②确定的隐函数y=Φx)是①的解同样F'(x)= f(x)± 0时，由②确定的隐函数x=y(y)也是①的解.称②为方程①的隐式通解，或通积分
当G y F x G y g y ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 和 可微 且 时， g y y f x x ( )d ( )d 设 y＝ (x) 是方程①的解, g x x x f x x ( ( )) ( )d ( )d 两边积分, 得 g y y ( )d f x x ( )d ① G y F x C ( ) ( ) 则有恒等式 G y( ) F x( ) ② 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 分离变量法 同样F x f x ( ) ( ) 0 时， 分离变量方程的解法: 也是①的解
二、典型例题dy=2xy的通解例1求微分方程dx业解分离变量一2xdx,y[%=[2xd,两端积分Inly=x2+Cy=Ce*"为所求通解
2 . dy xy dx 例1 求微分方程 的通解 解 分离变量 2xdx, y dy 两端积分 2 , dy xdx y 2 1 ln | | y x C 2 . x y Ce 为所求通解 二、典型例题