第三节 高阶导数、高阶导数的定义二、 高阶导数求法举例三、高阶导数求法法则思考题四、小结
第三节 高阶导数 • 一、高阶导数的定义 • 二、高阶导数求法举例 • 三、高阶导数求法法则 • 四、小结 思考题
高阶导数的定义一、引例：变速直线运动 s= s(t)ds速度即v=s'V二dtdydds加速度a-dtdtdta=(s')即
一、高阶导数的定义 s s t = ( ) 速度 即 v s = 加速度 d , d s v t = d d d( ) d d d v s a t t t = = 即 a s = ( ) 引例：变速直线运动
一般的，函数y= f(x)的导数y= f'(x)仍然是x的函数,我们把f(x)得导数叫做函数y= f(x)d'yd"f(x)或在点x处的二阶导数；记作：y",f"(x)dr?dr2即 y"=(y')'=(f'(x)= f"(x),dy_df(x)_(d)=(f(x)或dx?dx?dxdxdxdx相应地,f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数
2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) y f x y f x x f x y f x d y d f x x y f x dx dx = = = 一般的，函数 的导数 仍然 是 的函数 我们把 得导数叫做函数 在点 处的二阶导数；记作： ， 或 2 2 2 2 ( ) ( ( )) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) y y f x f x d y d f x d dy d df x dx dx dx dx dx dx = = = = = = 即 或 相应地, ( ) ; ( ) . f x f x 称为零阶导数 称为一阶导数
类似地，二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数.分别记作J", J(4),..., J(n)d'y d'ydn或dr3dr"dx4二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. (4) ( ) 3 4 3 4 , . . n n n y y y d y d y d y dx dx dx ， ， 或 ， ， 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 , n-1阶导数的导数称为 n 阶导数 ,分别记作
高阶导数求法举例二例1 设 y=arctanx,求f"(O),f"(0)2x1一1解J?2(1 +x")221+x+x-2x2(3x2 -1)(1+x2(1+x*)3-2x2(3x2 -1):. f"(0)(1 + x) x=0 = 0; f"(0)Ix=0 =-2.购1(1+x)3例2. 设 y = eax,求 y(n),解: y'=ae"x, y"=a'e"*, y"=a'e"*,..,y(n) = a" eax特别有：(e")(n) =e* (a*)(n) =a*.In" a(a>0)
例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = 2 2 2 [ ] (1 ) x y x − = + 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 2 (0) 0; (1 ) x x f x = − = = + 2 2 3 0 2(3 1) (0) 2. (1 ) x x f x = − = = − + 二、 高阶导数求法举例 3 , , a x 解: y a e = 例2. 设 , 求 a x y e = ( ) . n y , a x y a e = 2 , a x y a e = ( ) n n a x y a e = ( ) ( ) ln ( 0) x n x n a a a a = ( ) ( ) x n x 特别有: e e =