二、幂级数的敛散性 1.定理4.5（阿贝尔收敛定理） 如果幂级数∑C(2-)”在点z(3,≠)收敛，则级 n=0 数对于满足z-<-2的z收敛，并且绝对收敛 如果幂级数∑C,(2-2)”在点，(22≠o)发散则级 n=0 数对于满足2->22-20的z发散
1.定理4.5(阿贝尔收敛定理) 数对于满足 的z收敛,并且绝对收敛. 如果幂级数 在点 收敛,则级 0 1 0 1 1 0 0 0 ( ) ( ) z z z z C z z z z z n n n − − − = 6 数对于满足 的 发散. 如果幂级数 在点 发散 则级 z z z z z C z z z z z n n n 0 2 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) − − − = , 二、幂级数的敛散性
因为级数∑Cn(3,-o)”收敛，所以由定理4.3 n=l lim C(z1-zo)”=0 11->o0 因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有， 1Cn(a1-2o)”M 1C(2-2PHC6-21-0 ≤M -0 31-20 21-20
= − 1 1 0 ( ) n n n 因为级数 C z z 收敛， 所以由定理4.3 lim ( 1 − 0 ) = 0 → n n n C z z 因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有， C z z M n | n ( 1 − 0 ) | n n n n n n z z z z M z z z z C z z C z z 1 0 0 1 0 0 0 1 0 | ( ) | | ( ) | − − − − − = − 7
当2-<，-2时， z-20 <1,因此级数 21-20 -0 1-0 收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知， 2c.a-2川 收敛，从而级数 ∑C,(2-)P绝对收敛. n=0
当 时， 1,因此级数 1 0 0 0 1 0 − − − − z z z z z z z z ( ) 1 1 0 0 = − − n n z z z z M 收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知， = − 1 0 ( ) n n n C z z n n n C (z z )0 0 − = 收敛,从而级数 绝对收敛. 8
定理的几何意义： 如果幂级数在点z,收敛，那么幂级数在以z为圆 心，以3，-为半径的圆周内部的任意点处收敛， 如果幂级数在点z,发散，那么幂级数在以z为圆 心，以z2-为半径的圆周外部任意点z处发散. 对于上述级数在圆周2-=，-2上及其外部 的收敛性，除了点z外要另行判定
心,以 为半径的圆周内部的任意点处收敛. 如果幂级数在点z1 收敛,那么幂级数在以 为圆 1 0 0 z z z − 9 心,以 为半径的圆周外部任意点z处发散. 如果幂级数在点z2 发散,那么幂级数在以z0 为圆 2 0 z − z 的收敛性，除了点z 外要另行判定. 对于上述级数在圆周 上及其外部 1 0 1 0 z − z = z − z 定理的几何意义：
对于形如∑C(z-)的幂级数，当2≠时，可能 n=l 出现如下的三种情况 ()对任意的z≠2，级数∑C(z-)”均发散 n= (2)对任意的z,级数∑Cn(2-)”均收敛。 n=1 (3)存在一个有限正数R,使级数∑Cn(z-o)”在 n= 2-0=R内收敛，而在z-o=R外部处处散
出现如下的三种情况 对于形如 的幂级数,当 0 时,可能 1 0 C (z z ) z z n n n − = 对任意的 级数 均发散 = − 1 0 0 (1) , ( ) n n n z z C z z 对任意的z,级数 均收敛。 = − 1 0 (2) ( ) n n n C z z 10 内收敛,而在 外部处处散. (3)存在一个有限正数 使级数 在 z z R z z R R C z z n n n − = − = − = 0 0 1 0 , ( )