第二节单位脉冲函数 1.单位脉冲函数的应用背景 在物理和工程技术中，有许多物理现象具有脉冲性质， 例如断电以后的突然来电等，在力学中，机械系统受冲 击力作用后的运动情况等 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数， 在物理学家狄拉克首先引入单位脉冲函数后，它在物 理及工程技术中被广泛应用
第二节单位脉冲函数 1.单位脉冲函数的应用背景 . , , , , 击力作用后的运动情况等 例如断电以后的突然来电等 在力学中 机械系统受冲 在物理和工程技术中 有许多物理现象具有脉冲性质 . , 理及工程技术中被广泛应用 在物理学家狄拉克首先引入单位脉冲函数后 它在物 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数
2.函数的定义 定义8.1满足下面两个条件的函数6(t) (1)当t≠0时，有6(t)=0: (2)r60dh=1 称为单位脉冲函数， 关于单位脉冲函数说明： ()单位脉冲函数不是经典意义上的函数，是一个广义 函数 (2)δ涵数在现实生活中不存在，是数学抽象的结果
定义8.1满足下面两个条件的函数(t) (1)当t 0时,有(t) = 0. (2) ( ) 1. + − t dt = 称为单位脉冲函数. 关于单位脉冲函数说明: . (1) , 函数 单位脉冲函数不是经典意义上的函数 是一个广义 (2)函数在现实生活中不存在,是数学抽象的结果. 2.函数的定义
3.函数的基本性质 性质8.1设f(t)是定义在实数域R上的有界函数，且在t=0 处连续，则有 sd- 一 般地，若f(t)在t=t,处连续，则有 -1)f(d=f) 性质8.26(t)为偶函数，即有6(t)=6(-t), 性质8.3设(t)为单位阶跃函数，即有
(t)f (t)dt = f (0) + − 3.函数的基本性质 处连续 则有 性质8.1设 是定义在实数域 上的有界函数 且在 , f (t) R , t = 0 一般地，若f (t)在t = t 0 处连续,则有 ( ) ( ) ( ) 0 0 t − t f t dt = f t + − 性质8.2(t)为偶函数,即有(t) =(−t). 性质8.3设u(t)为单位阶跃函数,即有
1,t>0 u(0=0,t<0 则有6(0dt=u(0) d(①=6(t) dt 性质8.4线性性质 对任意的实数a,b,复数a,B成立 lap(t)5(t-a)+Bv(t)5(t-b)ldi -afp5(t-@d+pv()o(t-byl 性质8.5对积分变量进行线性变换
= 0, 0 1, 0 ( ) t t u t ( ). ( ) ( ) ( ), t dt du t t dt u t t = = − 则有 性质8.4线性性质 对任意的实数a,b,复数,成立 [a (t) (t − a)+ (t) (t − b)]dt + − a t t a dt t t b dt + − + − = ( ) ( − ) + ( ) ( − ) 性质8.5对积分变量进行线性变换
当c≠O时，应用线性代换t=cs+d得到等式 oc4-oh=4of-u-oa 性质8.6函数存在任意阶导数，并且分布积分法则成 立，特别的当p'(t)存在并且在a处连续时有 广p(5t-m)t=-Cg()6'(t-0)h 由此性质可以推出δ(t)具有如下的性质. 6m(t-a)=0,t≠a 广p08t-a)dt=(-1°fp(t5t-a)d=(-Irp(a
当c 0时,应用线性代换t = cs + d得到等式 t a dt c d c t c s cs d a ds ( ) ( ) 1 ( ) ( + − ) = − − + − + − 立,特别的当 存在并且在 处连续时有 性质8.6 函数存在任意阶导数,并且分布积分法则成 (t) a ' t t a dt t t a dt − − ( ) ( − ) = − ( ) ( − ) ' ' 由此性质可以推出 (t)具有如下的性质. (n) t a t a n ( − ) = 0, ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) t t a dt t t a dt a n n n n n − = − − = − − −