第二节 第十章 二重积分多的汁算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章
一、利用直角坐标计算二重积分 若D为X-型区域 y=0(x) p(x)≤y≤p2(x） a≤x≤b y=o(x)b x 若D为Y-型区域 D0E24 小y c≤y≤d X= Ψ()
O y ( ) 1 x y ( ) 2 x y x d c a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 若D为 X - 型区域 O ( ) 1 y x ( ) 2 y x b x y D a x 若D为Y - 型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 y 一、利用直角坐标计算二重积分
曲顶柱体体积的计算V=∬fx,)do y=P2(x) 设曲顶柱的底为X型区域 D={x,y)lg,(x)≤y≤p(x),a≤x≤b 利用“截面面积已知的立体的体积”计算 a xo bx 任取xo∈[a,b],平面x=x,截柱体的 y=(x) 发积为= f(xo.y)dy 故曲顶柱体体积为 V=J∬fx,y)dG=∫Axdx 记 -fd1a国a @()dy 2x)
x f x y y x x b a d ( , )d ( ) ( ) 2 1 x b a [ ]d 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为X-型区域 D x y x y x a x b ( , ) ( ) ( ), 1 2 任取 平面 故曲顶柱体体积为 ( , )d D V f x y 截面积为 f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 b a A(x)d x 截柱体的 ( ) 2 y x ( ) 1 y x 0x z f (x, y) z x y a b D O 记 作 ( , )d D V f x y 利用“截面面积已知的立体的体积”计算
同样，曲顶柱的底为 D={(x,y)y)≤x≤W2(y),c≤y≤d 则其体积可按如下两次积分计算 y V=J∬f(xy)do d =/cnt1a, x=vi(y) 了ad
y d c [ ]d D (x, y) 1 ( y) x 2 ( y), c y d 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 ( , )d D V f x y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 O y d c x ( ) 2 x y ( ) 1 x y y 记 作
说明：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域 则有 ∬fx,y)dxdy =02(x) P2(x) f(x,y)dy =ay0c,d 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干y X-型域或Y-型域，则 =+
x y O x y D O 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , ( , )d d D f x y x y 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y x a b ( ) 1 x y ( ) 2 x y d c 则有 x ( ) 1 y x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D2 D1 D3 X - 型域或Y - 型域 , D D D D 1 2 3 则