第、节 第九章 多无萄款的值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
第八节 第九章 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(x0,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值
一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O (极小值)
一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值， z=-√x2+y2在点(0,0)有极大值
一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O (极小值)
一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(x0,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值： z=-Vx2+y2 在点(0,0)有极大值 2=xy在点(0,0)无极值
一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x z O y (极小值)
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y%)=0,f(x00)=0 证：因z=f(x,y)在点(xo,o)取得极值，故 z=f(x,o)在x=xo取得极值 2=f(x,y)在y=y取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故