第四节 第十一章 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设曲面形构件具有连续面密度4(x,y,z),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5,7,5》 “大化小，常代变，近似和，求极限” 的方法，可得 M= lim 4(5,7,5;)△S 2→0 i 其中，入表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者）
O x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 1 n i M ( , , ) i i i 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)
定义设曲面Σ是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有 界.把∑任意分成n个小块△S,(△S同时也代表第 i小块曲面的面积)，设(5,7,5)是△S,上任意取定 的一点，作乘积f(5,n,5)△S,(i=1,2,.,n,并作 和∑f(5,n,5)△S,如果当各小块曲面的直径 最大值入→O时，这和的极限存在，则称此极限 为函数f(x,y,z)在曲面∑上对弧长的曲面积分 或第一类曲面积分，记作∬f(x,为，)dS,即 rxy2s=∑7(57,5)As i=1
定义 1 ( , , ) . ( ), ( , , ) , ( , , ) ( 1,2, , ), ( , , ) , 0 , , ( , , ) i i i i i i i i i i n i i i i i f x y z n S S i S f S i n f S f x y z 设曲面 是光滑的 函数 在 上有 界 把 任意分成 个小块 同时也代表第 小块曲面的面积 设 是 上任意取定 的一点 作乘积 并作 和 如果当各小块曲面的直径 最大值 时 这和的极限存在 则称此极限 为函数 在曲面 对弧长的曲面积分 第一类 上 或 曲面积分, ( , , )d , f x y z S 记作 即 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i f x y z S f S
被积函数 x=2飞55as 积分曲面 积分和式 据此定义，曲面形构件的质量为M=厂(x,y)dS 曲面面积为S=川dS
0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n i i i i i f x y z S f S 积分曲面 被积函数 积分和式 M x y z S ( , , )d 据此定义 , 曲面形构件的质量为 曲面面积为
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 ·积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若Σ是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面∑，∑2，则有 ∬f(xy)ds=∬fxy)ds+∬fx2)ds ·线性性质.设k1,k2为常数，则 [kf(x.y.)=士kgx,y小as =k∬fx,y,a)ds±k∬g(x.y.z)dS
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 1 2 , , 则有 f x y z S ( , , )d 1 f x y z S ( , , )d k f x y z k g x y z S 1 2 ( , , ) ( , , ) d • 线性性质. 1 2 k f x y z S k g x y z S ( , , )d ( , , )d 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面