第二节 第十一章 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1,引例：变力沿曲线所作的功， 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=P(x,y)i+(x,y)j 在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移 动过程中变力所作的功W 解决办法 恒力沿直线所作的功 “大化小” W=FAB cos0 “常代变” B =F.AB “近似和” “取极限
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 W F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 恒力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A F AB B F F x y P x y i Q x y j ( , ) ( , ) ( , ) A B L x y
1)“大化小” 把Z分成n个小弧段，F沿MM,yT F(5,n 所做的功为△W,则 2)“常代变” 有向小弧段MM,用有向线段M-M,=△x,i+△y, 近似代替，其中△x,=x,-x-1,△y=y一y-1,在MM 上任取一点(5,7)，则有 4W,≈F(5,7,)·M,-1M =P(5,7,)Ax+Q(5,7)△y
Mi1 Mi A B x y 1) “大化小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 ( , ) ( , ) P x Q y i i i i i i Δ Δ 所做的功为 F 沿 1 ( , ) W F M M i i i i i ( , ) F i i 1 n i i W W 则 用有向线段 上任取一点 在 i y i x 其中
3)近似和” W≈∑[P5,n)Ax+O,n,)△y] 4)“取极限” W=l∑[P(5,)A+O,n)△yJ i=1 (其中入为n个小弧段的 F(5,n 最大长度)
3) “近似和” 4) “取极限” 1 n i W P x Q ( , ) ( , ) i i i i i i ξ y 0 1 lim n i W P( , ) ( , ) ξi i i i i i η Δx Q ξ η Δ y (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) Mk1 Mk A B x y L ( , ) F i i i y i x
2.定义.设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.沿着L上的 方向依次插入一点列M(x,),M2(x2,y2. M(xn-1yn-),把L分成n个有向小弧段 M-M,(i=1,2,.,nM=A,Mn=B) 设△x,=X,-x-1,△y=y-1,点(5,7，)为M-M,上 任意取定的点.作乘积P(5,☑，)△x,(i=1,2.,n),并作 和∑P(5,7,)△x,如果当各小弧段长度的最大值 入→O时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分
2. 定义. 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 , ( , ), ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( 1,2, , ; , ). , , ( , ) . ( , n n n i i n i i i i i i i i i i i L xOy A B P x y Q x y L L M x y M x y M x y L n M M i n M A M B x x x y y y M M P 设 为 面内从点 到点 的一条有向光滑 曲线弧 函数 在 上有界 沿着 上的 方向依次插入一点列 把 分成 个有向小弧段 设 点 为 上 任意取定的点 作乘积 ) ( 1,2 , ), i i x i n 并作 1 ( , ) 0 , , ( , ) n i i i i x P x P x y L 和 ，如果当各小弧段长度的最大值 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分