第八节 第十二章 一般周期的品款的傅里叶级款 一、 周期为21的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式
第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式 第十二章
一、周期为21的周期函数的傅里叶级数 周期为21的函数f(x) 变量代换：=牙 周期为2π的函数F() 将Fe)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式
一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f (x) 周期为 2 的函数 F(z) 变量代换 l x z 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式
定理.设周期为21的周期函数f(x)满足收敛定理条件， 则它的傅里叶级数展开式为 00 2 (在f(x)的连续点处) 其中 〔0.=77os"Taxa=0,12 6,-/)sn”Taxa=1,2
狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个极值点 an x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 l 1 x l n x f x l l ( )cos d (n 0,1, 2, ) (n 1, 2, ) 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为 (在 f (x) 的连续点处) 其中 定理
证明：令：=元x,则x∈[-1，刀变成z∈[-元，元]， 1 令Fa)=fw)=f.则 FE+2m)=jE+2)=5+2） -f()=FG) 所以F(z)是以2π为周期的周期函数，且它满足收敛定 理条件，将它展成傅里叶级数： Fe)=9+( 2 an cos nz+b sin nz） = (在Fz)的连续点处)
证明: 令 l x z , 则 令 ( ) , lz f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) ( l z F z f ( 2l ) lz f ( ) lz f 所以 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以2 为周期的周期函数
= F(z)cos nzd正 (n=0,1,2, 其中 bn=A∫Fe)sind (n=1,2,3,. 元X (n=0,1,2,.） (-f()sin (n=1,2,3,.） 0=1 (在f(x)的连续点处) 证毕
a F z nz z n ( )cos d 1 其中 b F z nz z n ( )sin d 1 令 l x z l an 1 x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 (n 0,1, 2, ) (n 1, 2, 3, ) (n 0,1, 2, ) (n 1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d 证毕