《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-7 傅里叶级数

第七节 第十二章 停里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，o为角频率，o为初相) 00 复杂的周期运动：y=40+∑4nsin(n0t+z） n=1 (谐波迭加 An sin on cosnot+An cos on sinnot 4o=Ao.an An singn-bn=An coson=x E2 00 得函数项级数 k=1 称上述形式的级数为三角级数

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos   n cosn sin  令 sin , an  An n cos , bn  An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k      为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数

定理1.组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,.,cosx,sinx,. 在[-元，]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-兀，]上的积分等于0 证：∫1 cosndx=∫1 sinnxdx=0(n=l,2,） cos kx cosnx dx coskxcosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =2[cos(k+mx+cos(k-m)x]dx=0(k≠n)） 同理可证： sin kx sin nx dx=0(k≠n） "cos kx sin nx dx =0

cos(k n)x cos(k n)x d x π 2 π 1      定理 1. 组成三角级数的函数系 证:   π π 1 cos nxd x   π π 1 sin nxd x  0 cos kx cos nxdx π π   0 sin sin 0 π π   同理可证 : kx nxdx 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin 0 π π   kx nxdx (k  n )

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀，] 上的积分不等于0.且有 -1dr=2元 eos2nxd山=元 (n=1,2,.） 2sin2nxdk=元 cos2 nx= 1+cos 2nx 1-cos 2nx sinnx= 2 2

上的积分不等于 0 . 1 1d 2 π π π    x sin nxdx 2 π π  cos n x dx 2 π π  , 2 1 cos 2 cos2 nx nx   2 1 cos 2 sin2 nx nx   且有  π  π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

二、函数展开成傅里叶级数 定理2，设f(x)是周期为2π的周期函数，且 00 fx)= +∑a,cosK+b,sn ① 2 n=1 右端级数可逐项积分，则有 an=∫fx)cosd (n=0,1, ② f()sinnxdx (n=1,2,. 证：由定理条件，对①在[-兀，]逐项积分，得 adz=a:-aws6nsw =a0元

二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n      右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,                 1   π π π π π π 0 π π d cos d sin d 2 ( )d n n n x a nx x b nx x a f x x ① ② 对①在 逐项积分, 得