第五节 第九章 隐强数的求导方法 1)方程F(xy)=O在什么条件下才能确定隐函数 例如方程x产+少+C=0{ C<0时，能确定隐函数 C>0时，不能确定隐函数 2)方程能确定隐函数时，研究其连续性，可微性及求导方法问题 本节讨论： 一、一个方程所确定的隐函数的条件及其导数 二、方程组所确定的隐函数组的条件及其导数
第五节 第九章 一、一个方程所确定的隐函数的条件及其导数 二、方程组所确定的隐函数组的条件及其导数 隐函数的求导方法 1) 方程F(x,y)=0在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 C < 0 时, 能确定隐函数 C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题. 本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数F(x,y)在点P(xo,yo的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x,y0)=0 ③F,(x0,%)≠0 则方程F(x,y)=0在点x的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件yo=f(xo),并有连续 导数 dy (隐函数求导公式) dx F 就求导公式推导如下：
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0; F x0 y0 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 y x F F x y d d (隐函数求导公式) 就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 ② ③ 满足条件 导数
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 OF,oFdy =0 Ox Oy dx 在(x0,)的某邻域内F,≠0 dy F dx F
两边对 x 求导 y x F F x y d d 在 的某邻域内 Fy 0 则 F x yx
若F(x,y)的二阶偏导数也都连续， dy 则还可求隐函数的二阶导数： dx F X dy-2(- 、dy d FxxFy-FxxFx FxyFy-Fy F F FxEy2-2ExExFy+EyyFx F
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F F F 3 2 2 2 y xx y xy x y y y x F F F F F F F F y x F F x y d d ( ) y x F F y ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F 二阶导数 : ( ) y x F F x x y x x y d d 则还可求隐函数的
例1.验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求 到。dy =0 deir=o 解：令F(x,y)=siny+e-xy-1,则 ①F=ex-y,F,=cosy-x连续， ②F(0,0)=0; ③F,(0,0)=1≠0， 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且
例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 d 0 d , d 0 d 2 2 x x y x x y 解: 令 F(x, y) sin y e xy 1, x F(0,0) 0; F e y, x x 连续 ; 由 定理1 可知, Fy (0,0) 1 0, ① 导的隐函数 则 F y x y cos ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求