第七节 第九章 方向导数⅓梯意 一、方向导数 二、梯度
第七节 第九章 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度
一、方向导数 f(xo,yo)=lim fx+△x,o)-f(x,y) △x-→0 △x f(o,o)=lim f(xo,+△y)-f(xoJy】 △y-→0 △y 偏导数— 函数沿坐标轴方向的变化率 函数沿任一方向的变化率？方向导数 例如： [大气温度 在气象学中，需要确定气压 沿某些方向的变化率
一、方向导数 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y y y f x y y f x y y ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 函数沿坐标轴方向的变化率 函数沿任一方向的变化率？ 例如： 在气象学中,需要确定 大气温度 气压 . 沿某些方向的变化率 方向导数
设1是xOy平面上以P(x,y%)为始点的一条射线，g,=(cosa, Cos),是与同方向的单位向量，射线的参数方程： ↑y x=x +tcosa, (t≥0) y=yo+tcos B P(x,y) 设函数z=f(x,y)在点P(xo,)的 P(xo-Yo) 子 某个邻域U(P)内有定义，P(x。+1cosa,+1cosB)为1上另 一点，且P∈U(P),如果函数增量f(x。+1cosa,%+tcos) -f(x,)与P到P的距离PP|=的比值 f(xo+tcosa,yo+tcos B)-f(xo,o) t
0 0 0 ( , ) , (cos , l 设l xOy P x y e 是 平面上以 为始点的一条射线 cos ), 是与l l 同方向的单位向量,射线 的参数方程： 0 0 cos , ( 0). cos , x x t t y y t 0 0 0 P x y ( , ) l x y O l e 0 0 0 设函数z f x y P x y ( , ) ( , ) 在点 的 0 0 0 某个邻域U P P x t y t l ( ) ( cos , cos ) 内有定义， 为 上另 P x y ( , ) 0 0 0 一点,且P U P f x t y t ( ) ( cos , cos ) ,如果函数增量 0 0 0 0 f x y P P PP t ( , )与 到 的距离 的比值 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t
当P沿着趋于P(当1→0)时的极限存在，那么称此极限 为函数f(x,y)在点P沿方向的方向导数，记作 ,即 l\o) =lim f(x+tcosa,yo+tcos B)-f(xo,Yo) al t-→0 t (x0,6) 从方向导数的定义可知，方向导数可 就是函数f(x,y) 在点P(x,)处沿方向的变化率 若函数f(x,y)在点P(x,)的偏导数存在，=i=(1,0),则 =lim f(x+1,%)-f(xo, \(o3) f(x,%)月 1-→0
0 P l P t ( 0 ) 当 沿着 趋于 当 时的极限存在， 0 为函数f x y P l ( , )在点 沿方向 的方向导数， 那么称此极限 0 0 ( , ) , x y f l 记作 即 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos ) ( , ) = lim t x y f f x t y t f x y l t 从方向导数的定义可知， 0 0 ( , ) ( , ) x y f f x y l 方向导数 就是函数 0 0 0 在点P x y l ( , ) . 处沿方向 的变化率 0 0 0 若函数f x y P x y ( , ) ( , ) 在点 的偏导数存在， (1,0), l e i 则 0 0 ( , ) x y f l 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) = lim t f x t y f x y t = ( , ); x 0 0 f x y
又若e=j=(0,1),则 af =lim f(xo2 Yo+t)-f(Xo2 Yo) alw) f(x,)月 1→>0 t 但反之，若，=i存在，则 未必存在 例如，z=√x2+y在点O(0,0)处沿1=方向的方向导数： af V(0+)2+02-0 =lim a11o.) 1-→0 t /(0+△x)2+02-0 △x lim lim 不存在 xl(o.o) △x-→0 △x △x→0△X
(0,1), l 又若e j 则 0 0 ( , ) x y f l 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) = lim t f x y t f x y t = ( , ); y 0 0 f x y 0 0 ( , ) . l x y f e i x 但反之，若 存在，则 未必存在 2 2 例如,z x y O l i 在点 (0,0)处沿 方向的方向导数: (0,0) f l 2 2 0 (0 ) 0 0 = lim t t t =1. (0,0) f x 而 2 2 0 (0 ) 0 0 = lim x x x 0 = lim x x x 不存在