《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章多元函数微分法及其应用 9-3 全微分

第三节 第九章 全微分 一元函数y=f(x)的微分 △y=A△x+o(△x) 应用 近似计算 dy=f'(x)△x 估计误差 本节内容： 一、全微分的定义 *二、全微分在近似计算中的应用

第九章 *二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y  Ax  o(x) dy  f (x)x 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(,y)≈f(x,y)△x f(,y+△y)-f(x,y) f,(x,y)Ay 二元函数对x和 二元函数对x和 对y的偏增量 对y的偏微分

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f x x y f x y ( , ) ( , )    ( , ) x   f x y x f x y y f x y ( , ) ( , )    ( , ) y   f x y y 二元函数对x和 对y的偏增量 二元函数对x和 对y的偏微分

设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某领域内有定义， P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两 点的函数值之差f(x+△x,y+△y)-f(x,y)为函数在点 P对应于自变量增量△x和△y全增量，记作△z,即 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y). 一 般来说，计算全增量△比较复杂.与一元函数的 情形，我们希望用自变量的增量△x,△的线性函数来近 似地代替函数的全增量△z,从而引入如下定义：

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z f x y P x y P x x y y f x x y y f x y P x y              设函数 在点 的某领域内有定义， 为这邻域内的任意一点，则称这两 点的函数值之差 为函数在点 对应于自变量增 和 全增量，记作z，即       z f x x y y f x y = ( , ) ( , ). , z x y z     一般来说，计算全增量 比较复杂.与一元函数的 情形，我们希望用自变量的增量 的线性函数来近 似地代替函数的全增量 ，从而引入如下定义：

定义：如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △2=A△x+BAy+o(P),p=V(△x)2+(△y)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微

定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z  Ax  B y  o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz A x B y     若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. A x B y Δ  Δ

当函数可微时： lim△z=lim[(A△x+B△y)+o(p)]=0 △x→>0 0->0 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y） △Ax→0 △y-→0 =f(x+△x,y+△y)-(x,y) dz=A△x+B△y △z=A△x+B△y+O(P)

 z  Ax  B y  o( ) dz A x B y     z  f (x  x, y  y)  f (x, y) lim( ) ( ) 0    Ax  By  o  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x         当函数可微时 : 得 z y x      0 0 lim  0  f (x, y)