第二节 第八章 数量积向量积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 第八章
一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为日 的直线移动，位移为3，则力F所做的功为 W=Fs cos0 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M 3 M 记作 ab coso a.B W=F.3 为a与b的数量积（点积）
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s M2 a b 为a与b的 a, b s
当a≠0时，b在a上的投影为 万cos日起作Prj后万 故 a.B=a Prjab 同理，当≠0时 a≠0，b≠0 a.b=bPrjra 则a.b=0 2.性质 IT ()a:a=a2 ,= 2 (2)a,b为两个非零向量，则有 ab=0三aLb a.b=a b cos0
记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba b Prj a b a ba Prj (1) a a (2) a ,b a b 0 则 a b 0 a 0, b 0 当a 0 时, b 在 a 上的投影为 同 理,当b 0 时, a b
3.运算律 (1)交换律ab=ba (2) 结合律(2,4为实数) (2a)-b=a(2b)=2(a.b b） (2a)(4b)=元(a(ub)）》 =元4(a.b) Prica Prjeb (3)分配律(a+b)c=a.c+bC Prjc(@+B) 事实上，当=0时，显然成立；当c≠O时 (@+b)-@=|Prjz(a+B)=||(Prjca+PrjcB) @Prjna+Prjzb =a.c+b.c
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b ) a ( b) (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a b) b a bc a Prj c Prj a b c a b c c Prj c a b c c Prj Prj a c c Prj bc c Prj a c b c Prj (a b) c
例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b cP=(a-B).(a-b)=a.a +b.B-2a.B a+32-2a B coso a=a,b=B,c=G c2 a2+b2-2abcos0
例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c a b a b 证: 如图 . 则 2 cos 2 2 2 c a b a b CB a , C A b, AB c A B C a b c 2 c ( a b )( a b ) a a b b 2 a b 2 a 2 b 2 a b cos a a , b b , c c 设