第四节 第十二章 品数展开成暴级数 两类问题：在收敛域内 00 幂级数∑anx” 求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容： 一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数
第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章
一、泰勒(Taylor)级数 复习：f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)-f(xo)+f(a)(x-x)+(x-x)? 2 ++x-）”+R,) n! 其中Rn(x)= 05且(x-）)1(5在x与之间 (n+1)月 称为拉格朗日余项
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 Rn (x) ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) n n x x n f 则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) R (x) n 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :
若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 )+/-+g- 2 +.+(x-+. n! 为f(x)的泰勒级数. 当xo=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数， 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?
f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数
定理1，设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：lim R(x)=0 n>0 亚班：=2g-,ciw n-0 -2- f(x)=S,(x)+R,(x) limR,(x)=lim[f(x)-Sn+(x)=0,x∈U(xo） n-→o0 n→
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( ) 0. R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x n n lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n 0 , ( ) 0 xU x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 ( ) 0 xU x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
定理2.若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+a1x+a2x2+.+anx”+.,xe(-R,R) 则 a0=f(0) f'(x)=a1+2a2x++anx"-1+. a=f'(0) f"(x)=21a2++n-l0an-2+a2=f"(0) fm(x)=nan+. a,=mf() 显然结论成立
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x a1 a2 x nan x n (0) 1 a f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x a2 n n an x n (0) 2! 1 2 a f ( ) ! ; f (n) x n an (0) ( ) ! 1 n n n a f 显然结论成立 . (0) 0 a f 则这种展开式是