第三节 第十章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第十章
一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为p(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim p5,n5)Ay △V 2→0k=1 (5,n,5）
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ( , , ) i i i i v ( , , ) i i i i v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, ( , , ) , x y z C 求分布在 内的物质的 可得 n k 1 0 lim M “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
定义.设f(x,y,z),(x,y,2)∈2，若对2作任意分割 △y(i=1,2,.,n),任意取点(5,7,5)∈△y,下列“乘 积和式”极限 存在，则称此极限为函数f(x,y,)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 j∬fx,y,)d=f5,n,s)y
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z)Ω, 0 1 lim ( , , ) n i i i i k f v 存在, f (x, y,z) f x y z v ( , , )d dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (,, ) , 使得 f x y z v ( , , )d f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数∫(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1，投影法（先一后二”》 方法2.截面法（先二后一”)）
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
2=22(X,y) 方法1.投影法(“先一后二”) 假设平行于z轴且穿过闭区域Q内部 的直线与闭区域Ω的边界曲面S相交 不多于两点.把闭区域2投影到xOy 面上，得一平面闭区域D, 上下曲面的方程为： D (x.y) S1:z=2(x,y) S2:2=22(x,y)为 过D内任一点(x,y)作平行于z轴的直线，从S穿入从S 穿出，相应的竖坐标为z（x,y)与22(x,y)
方法1. 投影法 (“先一后二”) 假设平行于z轴且穿过闭区域内部 z y x O z=z2(x,y) S2 z2 z S1 1 z=z1(x,y) (x,y) 的直线与闭区域的边界曲面S相交 不多于两点. 把闭区域投影到xOy Dxy . 面上，得一平面闭区域D xy 上下曲面的方程为： 1 1 2 2 : ( , ), : ( , ), S z z x y S z z x y 1 2 ( , ) 过D x y z S S xy内任一点 作平行于 轴的直线，从 穿入从 1 2 穿出，相应的竖坐标为z x y z x y ( , ) ( , ). 与