第三节 第十一章 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 *四、全微分方程
第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用 第十一章 *四、全微分方程 三、二元函数的全微分求积
一、格林公式 在一元函数积分中，有牛顿莱布尼茨公式 fx)kF'(=f）Fb)-Fa 格林(Green)公式告诉我们：在平面闭区域D上的二重积分 可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表述 区域D分类： 单连通区域（无“洞”区域） D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 多连通区域（有“洞”区域）
区域 D 分类： 单连通区域 ( 无“洞”区域 )： 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) L D 一、 格林公式 在一元函数积分中,有牛顿-莱布尼茨公式 ( ) b a f x dx ( ) ( ) F x f x F b F a ( ) ( ). 格林(Green)公式告诉我们：在平面闭区域D上的二重积分 可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表述. L D D内任一闭曲线所围成的部分都属于D
域D边界L的正向： 当观察者沿边界行走时， 区域D总在他的左边， 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数， 则有器3dy=手A04y
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 d d d d L D Q P x y P x Q y x y ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 域 D 边界L 的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边. L D L D
证明：1)若D既是X-型区域，又是Y.型区域，且 D p(x)≤y≤P2(x a≤x≤b .w c≤y≤d 则 器v-2 =∫0wy)dy-∫cw1),y)dy -J(x.dy-fio(.dy (dy+c
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 d d D Q x y x d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q CBE Q(x, y)dy EAC Q(x, y)dy d c Q( ( y), y )dy 1 d c dy O d c y x E C A B a b D
即 r0ad-可，o ① 同理可证 -ady-Pt ② ①、②两式相加得 器 )dxdy=∮，Pdx+Ody
即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: d d d d L D Q P x y P x Q y x y