第之节 第九章 多元菡数微分学的儿何应用 一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线
二、空间曲线的切线与法平面 第六节 一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章
一、一元向量值函数及其导数 引例：已知空间曲线厂的参数方程 x=0(t) y= w(t) te[a,β] z=0(t) 记7=(x,y,z),f()=(o(t),wt),o(t0) T的向量方程F=f(t),t∈[a,B] 此方程确定映射f:a,]→>R,称此映射为一元向量 值函数 对T上的动点M,显然7=OM,即T是子的终点M 的轨迹，此轨迹称为向量值函数的终端曲线 要用向量值品数研究曲孩的莲猿性和光情性，就需要引进向 量值品数的极限、连猿和导数的概念
一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 的参数方程: [ , ] ( ) ( ) ( ) t z t y t x t 记 r (x, y,z), f (t) ((t),(t),(t)) 的向量方程 r f (t), t [,] M r x z O y 对 上的动点M , 即 是 此方程确定映射 3 f :[,] R ,称此映射为一元向量 显然r OM， r 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念
定义1：给定数集DcR,称映射f:D→R"为一元向量 值函数（简称向量值函数），记为 定义域 T=f(t),tED 因变量 自变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限 连续和导数密切相关，因此下面仅以=3的情形为代表 进行讨论， 在R中，若向量值函数f(t),t∈D的三个分量函数 依次为f(t),f(t),f(t),1∈D,则向量值函数f(t)可表示为 F(t)=f(t)i+f,(t)j+(t)k,tED 或 f(t)=(f(),f(),f(t),1∈D
定义1: 给定数集 D R , 称映射 n f : D R 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 r f (t), t D 定义域 因变量 自变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 3 ( ), 在R f t t D 中，若向量值函数 的三个分量函数 1 2 3 依次为f t f t f t t D f t ( ), ( ), ( ), , ( ) 则向量值函数 可表示为 1 2 3 f t f t i f t j f t k t D ( )= ( ) ( ) ( ) , 或 1 2 3 f t f t f t f t t D ( )=( ( ), ( ), ( )),
如空间曲线T的参数方程 x=t M(x,y,z y=t2t∈[0,2] z=t r=OM r=f)=ti+2j+k=(亿，)，t∈[0,2] r=f(0:t∈[0,2]>(t,2,t)
x z O y 如空间曲线 的参数方程: 2 3 [0,2] x t y t t z t r f t ( ) M x y z ( , , ) r r f t ( ) : t [0,2] 2 3 ( , , ) t t t 2 3 ti t j t k 2 3 ( , , ), [0,2] t t t t r OM
定义2：设向量值函数f()在t的某一去心邻域内有 有定义，如果存在一个常向量，对于V>0,总3δ>0， 使得当满足0<1-1。<δ时，对应的函数值ft)都满足： 70-se, 那么，常向量就叫做向量值函数f()当t→t,时的极限， 记作 limf()=或f()→石，(t→t》 设f)=(f),f),f),teD,则 极限：limf()=(imf(t),limf2(c),limf) t> 连续：limf(t)=f(o) 10
定义2: 0 设向量值函数 f t t ( ) 在 的某一去心邻域内有 有定义， 0 如果存在一个常向量r，对于 0, 总 0, 0 使得当t t t f t 满足0 , ( ) 时 对应的函数值 都满足： 0 f t r ( ) , 0 0 那么，常向量r f t t t 就叫做向量值函数 ( )当 时的极限， 记作 0 0 lim ( ) t t f t r 0 0 或 f t r t t ( ) , ( ) 1 2 3 设 f t f t f t f t t D ( ) ( ( ), ( ), ( )), , 则 极限： 连续： lim ( ) (lim ( ), lim ( ), lim ( )) 1 2 3 0 0 0 0 f t f t f t f t tt tt tt tt lim ( ) ( ) 0 0 f t f t t t