第九章 第二节 偏导数 一、偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数
第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第九章
偏导数定义及其计算法 在研究一元函数时我们从研究函数的变化率 入了导数的概念。对于多元函数，同样需要讨论它 的变化率问题。多元函数的自变量不止一个，但实 际问题常常研究在其它自变量不变的条件下，只考 虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化 率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概 念。 以二元函数z=几x,y)为例，如果只有自变量x变 化，而自变量y固定（即看做常量），这时它就是关于 x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数 z=x,y)对于x的偏导数，即有如下定义：
一、 偏导数定义及其计算法 在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引 入了导数的概念。对于多元函数，同样需要讨论它 的变化率问题。多元函数的自变量不止一个，但实 际问题常常研究在其它自变量不变的条件下，只考 虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化 率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概 念。 以二元函数z=f(x,y)为例，如果只有自变量x变 化，而自变量y固定(即看做常量)，这时它就是关于 x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数 z=f(x,y)对于x的偏导数，即有如下定义：
定义1.设函数z=f(x,y)在点(xo,o)的某邻域内 极限 lim f(xo+Ax,Yo)-f(xo,Yo) △x→0 △x 存在，则称此极限为函数二=f(x,y)在点(xo,yo)对x 的偏导数，记为 of 0x(o0)”0x(x0,%)°三x(w) f(xo-Yo). 注意：(x0,V0) =。m (xg土△x,6)-(x0,0 f(xo)=lim fot△x)-(x0△xdy △x-→0 f(vo) dxx=xo dx
定义1. z f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x x 0 0x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) ( ) ( ) 0 0 f x x f x 0 x lim x x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对y的偏导数 f(o,Yo)=lim f (xo,yo+Ay)-f (xo>o) △y→>0 △y d( y=Yo 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 Oz of 8x 8x zx,f(x,y) 5, ay'Oy
同样可定义对 y 的偏导数 lim 0 y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) y f x y ( , ) 0 f x ( , ) 0 f x y 记为 y y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=f(x,y,)在点（心，y,)处对x的 偏导数定义为 fx(x,z）=lim f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) △x>0 △x fv(x,y,2)=? f(x,y,z)=?
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x x f (x, y,z) ? y f (x, y,z) ? z x 偏导数定义为