第三节 第十二章 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十二章
一、函数项级数的概念 设4n(x)(n=1,2,)为定义在区间I上的函数，称 ∑4n(x)=41(x)+u2()++n()+ n= 为定义在区间I上的函数项级数 对x0∈I,若常数项级数∑4n(xo)收敛，称x为其收 n=l 敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域： 00 若常数项级数 ∑4n(xo)发散，称xo为其发散点，所有 n=] 发散点的全体称为其发散域
一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 Sx)=∑4，() n=1 若用S,(x)表示函数项级数前n项的和，即 S.()=∑4x) k=1 令余项 r(x)=S(x)-S,(x) 则在收敛域上有 lim S,(x)=S(x), lim r,(x)=0 n→00 n-→00
为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
例如，等比级数 ∑x”=1+x+x2++x”+ n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 1 n=0 1-x 它的发散域是(-o,-1]及[1，+∞)，或写作x≥1
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 ( , 1]及[1， ）, 或写作 x 1. 有和函数
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑an(x-x)”=a0+a,(x-x0)+a2(x-x)》2+ n=0 .+an(x-x0)”+ 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,l,)称 为幂级数的系数 下面着重讨论xo=0的情形，即 ∑anx”=a0+ax+ax2++anx”+ n=0 例如，幂级数 x”=x1即此形 n=0
二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称