第二节 第十二章 常款页级款的审敘法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 *四、绝对收敛级数的性质
一、正项级数及其审敛法 00 若n≥0，则称∑4，为正项级数 n= 定理1，正项级数 ∑4n收敛二部分和序列S n= (n=1,2,.有界 证：“→”若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n= um≥0，∴.部分和数列{Sn}单调递增 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 N=
一、正项级数及其审敛法 若 0, un n1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “
定理2（比较审敛法 设∑4，∑，是两个正项级数 n= 且4n≤Vn(n=1,2,.).若级数∑y,收敛，则级数 n= n= 收敛；反之，若级数∑4发散，则级数∑y,发散， n= 证设级数∑y,收敛于和o,则级数∑u,的部分和 n= Sn=41+2+.+un≤y+y2+.+Vn≤O(n=1,2,.), 即部分和数列{sn}有界，由定理1知级数∑4，收敛. n= 反之，若级数∑n发散，则级数∑y,必发散.因为若 n= n= 级数 ∑y,收敛，则级数∑u,也收敛，与假设矛盾。 n= n=
定理2 (比较审敛法) 设 且 是两个正项级数
推论设∑a,∑ n是两个正项级数，如果级数 n= 收敛，且存在正整数N,使当n≥N时有un≤w,(k>0) 成立，那么级数∑4，收敛：如果级数∑y,发散，且当 n=1 n= n≥N时有u,≥m(k>0)成立，那么级数∑n发散 n=
推论 设 是两个正项级数
例1.讨论p级数1+ 3P n2+.(常数p>0 的敛散性， 解：1)若p≤1，因为对一切n∈N+, 而调和级数 发散，由比较审敛法可知p级数 发散
例1. 讨论 p 级数 p p p n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散