一、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换11例4n次多项式的全体oxl=p=ax"+...+ax+aoa,,a,aeRHa,o对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间.这是因为Op=Ox"+·+0x+0Qx，即Qx对运算不封闭
第5章 线性空间与线性变换 11 例 4 = = + + + 1 0 1 0 , , , , 0 , n n n n n Q x p a x a x a a a a a R 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. = + + + 0 0 0 0 , n n p x x Q x n 次多项式的全体 即 对运算不封闭. n Q x 这是因为 一、线性空间的定义
>>>一、线性空间的定义12第5章线性空间与线性变换例5n个有序实数组成的数组的全体S" = x= (x,X,,x,)",X,",x,ER对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 (,, ) - (..,0)不构成线性空间可以验证Sn对运算封闭，但是1ox=0，不满足第五条运算规律，即所定义的运算不是线性运算，所以不是线性空间
第5章 线性空间与线性变换 12 例 5 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 n 个有序实数组成的数组的全体 = = ( ) T 1 1 1 1 , , , , , , n n n S x x x x x x x R 可以验证 S n 对运算封闭，但是 1 0 x = ，不满足第五条运算规律，即所定义的运算 ( ) = ( ) 不构成线性空间. 1 , , 0, , 0 T T n x x 不是线性运算，所以不是线性空间. 一、线性空间的定义
一、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换13例6正实数的全体，记作R+，在其中定义加法及乘数运算为ab=aba,beR),aoa=a(aeRaeR验证对上述加法与乘数运算构成线性空间证明首先验证对定义的加法和数乘运算封闭对加法封闭：对任意的a,bRt，有α④b=abR+;对数乘封闭:对任意的 RR,有α=α~R+
第5章 线性空间与线性变换 13 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法及乘数运算为 ( ) ( ) + + a b ab a b a a a = = , , , , R R R 验证对上述加法与乘数运算构成线性空间. 首先验证对定义的加法和数乘运算封闭. + 对加法封闭：对任意的 a b, R ，有 a b ab = R + ； 对数乘封闭：对任意的 ，有 . + R R ,a + a a = R 例 6 证明 一、线性空间的定义
、线性空间的定义14第5章线性空间与线性变换下面验证定义的运算是线性运算01a@b=ab=ba=b@aOPTION02(a④b)甲c = (ab) ④c = (ab)c =a(bc) = a ④ (b④c):OPTION03在R*中存在零元素1，对于任何αR,都有是 α④1=α·=a,OPTION04对于任何αR,都有是a的负元素α-R,使α④α-=α·α-l=1OPTION
第5章 线性空间与线性变换 14 下面验证定义的运算是线性运算. 01 OPTION a b ab = 02 (a b c ab c = ) ( ) OPTION 在 中存在零元素 1，对于任何 ，都有是 + R + 03 a R a a a = = 1 1 ; OPTION 对于任何 ，都有是 的负元素 ，使 + a R a − + 1 a R − − = = 1 1 04 a a a a 1. OPTION = (ab c) = a bc ( ) = a b c ( ); = ba = b a; 一、线性空间的定义
、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换1505 1oa=a'=a;OPTION06(uoa)=noα"=(a"))"=a=(nμ)oaOPTION07(+μ)oa=aa+μ=a"a"=a"@a"=oa+μoa;OPTION08。(a@b) =(ab)=(ab)=a"b =α"④b"= oaob.OPTION因此，R+对于所定义的运算构成线性空间
第5章 线性空间与线性变换 15 ( ) = a 因此， 对于所定义的运算构成线性空间. + R = = 1 05 1 ; a a a OPTION 08 (a b ab =) ( ) OPTION ( ) + 07 + = a a OPTION 06 OPTION ( ) a a = = a = ( ) a ; = + a a ; = a a = a a = a b. = a b ( ) = a b = ab 一、线性空间的定义